备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第9章二次函数之几何应用问题-在线组卷题库

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{3} x + c$ 与x轴交于点A和点 $B (3.0)$ ，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 $P E ⊥ x$ 轴于点E，交 $B C$ 于点F．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，当 $△ B E F$ 的周长是线段 $P F$ 长度的2倍时，求点P的坐标；

(3)、如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 $B Q$ ，过点B作直线 $l ⊥ B Q$ ，连接 $Q F$ 并延长交直线 $l$ 于点M．当 $B Q = B M$ 时，请直接写出点Q的坐标．

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2. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = - x^{2} + b x + 2$ （ $b$ 是常数）经过点 $(2 ， 2)$ ．点 $A$ 的坐标为 $(m ， 0)$ ，点 $B$ 在该抛物线上，横坐标为 $1 - m$ ．其中 $m < 0$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

(2)、当点 $B$ 在 $x$ 轴上时，求点 $A$ 的坐标；

(3)、该抛物线与 $x$ 轴的左交点为 $P$ ，当抛物线在点 $P$ 和点 $B$ 之间的部分（包括 $P$ 、 $B$ 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $2 - m$ 时，求 $m$ 的值．

(4)、当点 $B$ 在 $x$ 轴上方时，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，连结 $A C$ 、 $B O$ ．若四边形 $A O B C$ 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形 $A O B C$ 的顶点），设这两个交点分别为点 $E$ 、点 $F$ ，线段 $B O$ 的中点为 $D$ ．当以点 $C$ 、 $E$ 、 $O$ 、 $D$ （或以点 $C$ 、 $F$ 、 $O$ 、 $D$ ）为顶点的四边形的面积是四边形 $A O B C$ 面积的一半时，直接写出所有满足条件的 $m$ 的值．

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3. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ $(b$ ， $c$ 为常数， $c > 1$ $)$ 的顶点为 $P$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，抛物线上的点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，且 $- c < m < \frac{b}{2}$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ A C$ ，垂足为 $N$ ．

(1)、若 $b = - 2 ， c = 3$ ．
①求点 $P$ 和点 $A$ 的坐标；
②当 $M N = \sqrt{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标；

(2)、若点 $A$ 的坐标为 $(- c ， 0)$ ，且 $M P ∥ A C$ ，当 $A N + 3 M N = 9 \sqrt{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标．

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4. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，连接 $A C$ 、 $B C$ ．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．

(1)、求此抛物线的表达式；

(2)、过点P作 $P N ⊥ B C$ ，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段 $P N$ 的长，并求出当m为何值时 $P N$ 有最大值，最大值是多少？

(3)、过点P作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为点M， $P M$ 交 $B C$ 于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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5. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m ．过点P作y轴的平行线，交直线 $B C$ 于点Q ，以 $P Q$ 为边，在 $P Q$ 的右侧作正方形 $P Q M N$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、点P在直线 $B C$ 上方的抛物线上运动时，直接写出 $P Q$ 的长．（用含m的代数式表示）

(3)、抛物线的顶点落在正方形 $P Q M N$ 的边上（包括顶点）时，求m的值．

(4)、当此抛物线在正方形 $P Q M N$ 内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．

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6. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 6$ 与 $x$ 轴相交于点A，B（点A在点 $B$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ，取 $A O$ 中点 $D$ ，过 $D$ 作 $D E ⊥ A O$ 交抛物线于点 $E$ ．

(1)、求点 $B$ ，点 $C$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 为抛物线在第一象限图像上一点，连接 $A P$ 交 $E D$ 于 $Q$ ，设点 $P$ 的横坐标为t， $Q D$ 长度为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 的函数关系式，并直接写出 $t$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，连接 $P C$ ，过 $O$ 作直线 $P C$ 的垂线，垂足为 $F$ ， $O F$ 交直线 $A P$ 于点 $G$ ，分别连接 $C G$ ， $C A$ ，当 $d = \frac{1}{2}$ 时，判断 $△ A G C$ 的形状并说明理由．

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7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{3} x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ．

(1)、求这条抛物线的函数解析式；

(2)、P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 $P D ⊥ x$ 轴，垂足为D，连接 $P C$ ．
①如图，若点P在第三象限，且 $t a n ∠ C P D = 2$ ，求点P的坐标；

②直线 $P D$ 交直线 $B C$ 于点E，当点E关于直线 $P C$ 的对称点 $E^{'}$ 落在y轴上时，请直接写出四边形 $P E C E^{'}$ 的周长．

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8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 3 x + 1$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 交抛物线于B，C两点（点B在点 $C$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ .

(1)、求点D，E，C的坐标；

(2)、F是线段OE上一点 $(O F < E F)$ ，连接AF，DF，CF，且 $A F^{2} + E F^{2} = 21$ .
①求证： $△ D F C$ 是直角三角形；

② $∠ D F C$ 的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当 $3 t a n ∠ P F K = 1$ 时，求点 $P$ 的坐标.

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9.

(1)、【建立模型】如图 $1$ ，点 $B$ 是线段 $C D$ 上的一点， $A C ⊥ B C$ ， $A B ⊥ B E$ ， $E D ⊥ B D$ ，垂足分别为 $C$ ， $B$ ， $D$ ， $A B = B E$ ．求证： $△ A C B ≌ △ B D E$ ；

(2)、【类比迁移】如图 $2$ ，一次函数 $y = 3 x + 3$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ 、与 $x$ 轴交于点 $B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $B C$ 、直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．
①求点 $C$ 的坐标；
②求直线 $A C$ 的解析式；

(3)、【拓展延伸】如图 $3$ ，抛物线 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，已知点 $Q (0$ ， $- 1)$ ，连接 $B Q$ ．抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $t a n ∠ M B Q = \frac{1}{3}$ ，若存在，求出点 $M$ 的横坐标．

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $A C$ ，过B、C两点作直线．

(1)、求a的值．

(2)、将直线 $B C$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，交抛物线于 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 两点．在直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C + ∠ A C O = 45 °$ ，若存在，请求出直线 $B P$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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11. 二次函数 $y = a (x - 1) (x - 5) (a > \frac{1}{2})$ 的图像与x轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $M (3 ， 1)$ 的直线将 $△ A B C$ 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则 $a$ 的值为．

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12. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与y轴交点的坐标 $(0 ， - 2)$ ．

(1)、求抛物线对应的函数表达式．

(2)、①当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，y的取值范围是．
②若 $n \leq x \leq 3$ 时， $- 3 \leq y \leq 1$ ，则n的取值范围是．

(3)、二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象上一点P ，其横坐标为m ．过点P作 $P Q ⊥ x$ 轴于点Q ，点 $M (3 - m ， 0)$ ，以 $P Q$ 、 $Q M$ 为边构建矩形PQMN ，当矩形 $P Q M N$ 的边与二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象只有三个交点时，直接写出m的取值范围．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²+bx+c的图象经过点A(0，-4)，点B(4，0)．

(1)、求此二次函数的解析式．

(2)、若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积．

(3)、当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m ，最小值为n ，若m-n＝3，直接写出t的值．

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14. 如图，二次函数y₁＝ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）.

(1)、直接写出二次函数的表达式；以及顶点D的坐标．

(2)、①若点P（0，t）（t<-1）是y轴上的点，将点Q（-5，0）绕着点P按照顺时针方向旋转90°得到点E ，当点E恰好落在二次函数图象上时，求t的值；
②在①的条件下，连接AD、AE ，设∠DAE=α，若点N是抛物线上动点，将射线CB绕点C旋转α角度后过点N ，求N点的坐标．

(3)、将二次函数y₁的图像沿x轴翻折得到y₂ ，设y₁与y₂组成的图形为M ，直线L；y=-x+m与M有公共点，直接写出：L与M的公共点为3个时，m的值．

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15. 抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．

(1)、如图1，若P(1，-3)，B(4，0)．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；

(2)、如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P运动时， $\frac{O E + O F}{O C}$ 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

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16. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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17. 如图， $∠ M A N = 60 °$ ，在射线 $A M$ ， $A N$ 上分别截取 $A C = A B = 6$ ，连接 $B C$ ， $∠ M A N$ 的平分线交 $B C$ 于点D ，点E为线段 $A B$ 上的动点，作 $E F ⊥ A M$ 交 $A M$ 于点F ，作 $E G ∥ A M$ 交射线 $A D$ 于点G ，过点G作 $G H ⊥ A M$ 于点H ，点E沿 $A B$ 方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x ，四边形 $E F H G$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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18. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ 、动点 $P$ 从点 $B$ 出发，在线段 $B C$ 上匀速运动，到达点 $C$ 时停止设点 $P$ 运动的路程为 $x$ ，线段 $O P$ 的长为 $y$ ，如果 $y$ 与 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示，则矩形 $A B C D$ 的面积是（）

A、60 B、48 C、24 D、12

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19. 如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 60 ° ， B C = 2 A B$ ，动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $A B$ 运动到点 $B$ 停止，同时动点 $F$ 从点 $B$ 出发，以每秒4个单位的速度沿折线 $B - C - D$ 运动到点 $D$ 停止．图2是点 $E ， F$ 运动时， $△ B E F$ 的面积 $S$ 与运动时间 $t$ 函数关系的图象，则 $a$ 的值是．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过点 $P (4 ， - 3)$ ，与y轴交于点 $A (0 ， 1)$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与抛物线交于B，C两点.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若 $△ A B P$ 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

(3)、过点 $M (0 ， m)$ 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得 $O D ⊥ O E$ 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点 $C (0 ， 3)$ ，点B的坐标为 $B (1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以 $A M$ 为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 8$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0) 、 B (2 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)、点 $P$ 为第三象限内抛物线上一点，作直线 $A C$ ，连接 $P A$ 、 $P C$ ，求 $△ P A C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、设直线 $l_{1} ： y = k x + k - \frac{35}{4}$ 交抛物线于点 $M$ 、 $N$ ，求证：无论 $k$ 为何值，平行于 $x$ 轴的直线 $l_{2} ： y = - \frac{37}{4}$ 上总存在一点 $E$ ，使得 $∠ M E N$ 为直角．

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23. 如图，二次函数的图象分别交x轴于点 $A (- 1 ， 0)$ 、点 $B (m ， 0)$ ，交y轴于点 $C (0 ， m)$ （其中 $m > 1$ ），连接 $A C$ 、 $B C$ ，点D为 $△ A B C$ 的外心，连接 $A D$ 、 $B D$ 、 $C D$ ．

(1)、求这条抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；

(2)、若 $△ C D B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，请求出m的值；

(3)、在（2）的条件下，连接 $O D$ ，在直线 $B C$ 上是否存在一点P，使得以点B、D、P为顶点的三角形与 $△ A O D$ 相似，若存在，求出点P的纵坐标，若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在直角坐标平面 $x O y$ 中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上， $A B ∥ O C$ ，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 4 (a \neq 0)$ 经过A、B、C三点．

(1)、求点A、B的坐标；

(2)、联结 $A C$ 、 $O B$ 、 $B C$ ，当 $A C ⊥ O B$ 时，
①求抛物线表达式：

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 $S_{△ P A C} = 4 S_{△ A B C}$ ?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0) ， C (0 ， 3)$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $M H + D H$ 的最小值；

(3)、若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 3$ 分别与x轴，y轴交于点 $B (3 ， 0)$ 和点 $C (0 ， 3)$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 恰好经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，点P是抛物线上一动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点P在第一象限，连接 $O P$ ，交直线 $B C$ 于点D，且 $\frac{P D}{O D} = \frac{2}{3}$ ，求点P的坐标；

(3)、如图2，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴交直线 $B C$ 于点N，Q是直线 $B C$ 上一动点．是否存在以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）与x轴正半轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， - 2)$ ． P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P作x轴的垂线，交直线 $A B$ 于点C ，在该垂线的点P上方取一点D ，使 $P D = | m |$ ，以 $C D$ 为边作矩形 $C D E F$ ，设点E的横坐标为 $- 2 m + 1$ ．

(1)、求抛物线所对应的函数表达式．

(2)、当 $m = - 1$ 时，求矩形 $C D E F$ 的周长．

(3)、当矩形 $C D E F$ 被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．

(4)、当抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

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28. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A ， B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $O A = 1 ， O B = 4$ ， $D$ 为拋物线的顶点，连接 $B D ， C D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、顶点 $D$ 的坐标为；已知点 $Q (m ， n)$ 在抛物线上，当 $- 1 \leq m \leq 4$ 时，则 $n$ 的取值范围为；

(3)、 $Q$ 是线段 $B D$ 上的一个动点，连接 $A Q$ ，当线段 $A Q$ 最短时，请求出点 $Q$ 的坐标；

(4)、若 $M$ 是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $N$ ，使以 $O ， B ， M ， N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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29. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)、如果四个点 $(0 ， 0) 、 (0 ， 2) 、 (1 ， 1) 、 (- 1 ， 1)$ 中恰有三个点在二次函数 $y = a x^{2}$ （a为常数，且 $a \neq 0$ ）的图象上．
① $a =$ ▲ ；
②如图1，已知菱形 $A B C D$ 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 $A D ⊥ y$ 轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形 $A B C D$ 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 $n - m$ 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．

(2)、已知正方形 $A B C D$ 的顶点B、D在二次函数 $y = a x^{2}$ （a为常数，且 $a > 0$ ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

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备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第9章二次函数之几何应用问题

一、面积、线段最值问题

二、含角度问题

三、含参问题求定值（数形结合)

四、多边形应用-结合函数图像

五、三角形存在性问题

六、中心对称图形存在性问题