黑龙江省哈尔滨市道里区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-09-07 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} = 2$ B、 $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 18$ C、 $x + y = 5$ D、 $x^{2} + 4 = x^{3}$

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2. 如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y是x的函数的是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 由线段 $a$ ， $b$ ， $c$ 可以组成直角三角形的是（）

A、 $a = 5$ ， $b = 8$ ， $c = 7$ B、 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ C、 $a = \sqrt{5}$ ， $b = 2 \sqrt{5}$ ， $c = 5$ D、 $a = 5$ ， $b = 5$ ， $c = 6$

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4. 若把直线 $y = 2 x + 3$ 向下平移 $3$ 个单位长度，得到图象对应的函数解析式是（）

A、 $y = 2 x + 9$ B、 $y = 2 x - 3$ C、 $y = 2 x + 6$ D、 $y = 2 x$

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5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 $169$ 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 人，则 $x$ 的值为（）

A、 $11$ B、 $12$ C、 $13$ D、 $14$

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6. 已知一次函数 $y = k x + k - 2$ 的图象不经过第二象限，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 0$ B、 $k < 2$ C、 $0 < k < 2$ D、 $0 < k \leq 2$

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $C E / / B D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，下列结论不一定正确的是（）

A、 $O B = \frac{1}{2} C E$ B、 $B E = C E$ C、 $B C = \frac{1}{2} A E$ D、 $△ A C E$ 是直角三角形

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $O H$ ， $O H = 2$ ，若菱形 $A B C D$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 将矩形纸片 $A B C D$ 按如图所示的方式折叠， $A E$ 、 $E F$ 为折痕， $∠ B A E = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，折叠后，点 $C$ 落在 $A D$ 边上的 $C_{1}$ 处，并且点 $B$ 落在 $E C_{1}$ 边上的 $B_{1}$ 处 $.$ 则 $B C$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $A O$ 上，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E D$ 的垂线交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ ，过点 $E$ 作 $E H ⊥ B C$ 垂足为点 $H$ ，以 $E D$ 为边作等边三角形 $E D G$ ，连接 $B G$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，下列四个命题或结论： $① E D = E F$ ； $② B H = F H$ ； $③ E C - A E = \sqrt{2} C F$ ； $④$ 若 $A B = 2$ ，则四边形 $M E D G$ 的面积是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} .$ 其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 函数y= $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是.

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12. 已知 $x = - 1$ 是方程 $x^{2} - a x + 7 = 0$ 的一个根，则 $a$ 的值是．

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13. 若 $y = (m - 1) x + m^{2} - 1$ 是关于 $x$ 的正比例函数，则常数 $m$ 的值是．

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14. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ．

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，不等式 $k x + b > 0$ 的解集是．

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17. 如图所示，有一根高为 $16$ 米的电线杆在 $A$ 处断裂，电线杆顶部 $C$ 落在离电线杆底部 $B$ 点 $8$ 米远的地方，则电线杆断裂处 $A$ 离地面的距离 $A B$ 的长为．

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18. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明 $.$ 如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 $.$ 若大正方形的面积是 $25$ ，小正方形的面积是 $1$ ，则 $A F$ 的长度是．

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19. 已知：正方形 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上的点，连接 $A E$ ，点 $F$ 是正方形 $A B C D$ 边上的一点，连接 $D F$ ，若 $A E = D F = 13$ ，正方形边长为 $12$ ，则 $E F$ 的长度是．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 上有两动点 $E$ 和 $F$ ，连接 $B E$ 和 $B F$ ，若 $A E = C F$ ， $A C - A B = 9$ ， $A C - B C = 2$ ，则 $B E + B F$ 的最小值是．

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三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 解方程：

(1)、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ；

(2)、 $x (x + 4) = 3 x + 12$ ．

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22. 如图，图 $1$ 、图 $2$ 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 $1$ 个单位，线段 $A B$ 的两个端点均在小正方形的顶点上．

(1)、在图1中画出一个以线段 $A B$ 为对角线，面积为 $4$ 的矩形 $A C B D$ ，且点 $C$ 和点 $D$ 均在小正方形的顶点上；

(2)、在图2中画出一个以线段 $A B$ 为一边，面积为 $7$ 的平行四边形 $A B E F$ ，且点 $E$ 和点 $F$ 均在小正方形的顶点上 $($ 画出一个即可 $)$ ，直接写出平行四边形 $A B E F$ 的周长．

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23. 已知： $A$ 、 $B$ 两地距离 $24 k m$ ，甲、乙两人都从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，乙比甲晚出发 $2 h$ ，甲、乙两人全程匀速运动，设运动时间为 $x ($ 单位： $h)$ ，甲、乙距离 $A$ 地的路程分别为 $y_{1}$ ， $y_{2} ($ 单位： $k m)$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 分别与 $x$ 的函数关系如图所示．

(1)、分别求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、在两人共同行走的过程中，求运动时间为多少时，两人相距 $3 k m$ ．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A O = C O$ ， $∠ B C A = ∠ C A D$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、如图2， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $B O$ ， $C O$ ， $A D$ 的中点，连接 $E F$ 、 $G E$ 、 $G F$ 、 $A E$ ， $E G$ 和 $A C$ 相交于点 $H$ ，当 $B D$ 和 $A B$ 满足什么样的数量关系时才能使四边形 $A E F G$ 为菱形，并说明你的理由．

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25. 某绘画艺人第一天的收入为 $875$ 元，第三天的收入为 $1260$ 元 $($ 每天收入的增长率相同 $)$ ．

(1)、求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？

(2)、绘画艺人想制作一幅长 $30$ 分米，宽 $20$ 分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条 $($ 阴影部分为彩条无费用 $)$ ，其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米 $3$ 元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．

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26. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 $1$ 个点，第二行有 $2$ 个点 $\dots .$ 第 $n$ 行有 $n$ 个点 $\dots$ ．

(1)、根据上面的内容，请直接写出 $10$ 是三角点阵中前行的点数和；

(2)、请直接写出三角点阵中前 $8$ 行的点数和；

(3)、三角点阵中前 $n$ 行的点数和能是 $136$ 吗？如果能，请求出 $n$ ，如果不能，请说明理由；

(4)、如果把图 $1$ 的三角点阵中各行的点数依次换为 $2$ ， $4$ ， $6$ ， $\dots$ ， $2 n$ ， $\dots$ ，你能探究出前 $n$ 行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前 $n$ 行的点数和能是 $650$ 吗？如果能，请求出 $n$ ，如
果不能，请说明理由．

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27. 已知：在平面直角坐标系中，直线 $y = 2 k x - 7 k$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $B$ 和点 $A$ ，且 $O A = O B$ ．

(1)、如图 $1$ ，求直线 $A B$ 的解析式；

(2)、如图 $2$ ，把 $△ A O B$ 沿 $A B$ 翻折得到 $△ A B C ($ 点 $O$ 和点 $C$ 是对应点 $)$ ，点 $D$ 在 $O B$ 的延长线上，连接 $C D$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ，求 $∠ A E C$ 的度数；

(3)、如图 $3$ ，在(2)的条件下，过点 $D$ 作 $A E$ 的平行线，分别交 $C B$ 和 $y$ 轴于点 $T$ 和点 $G$ ，连接 $G B$ ， $△ G B D$ 的面积是 $\frac{5}{4}$ ，且 $A G > G O$ ，求点 $E$ 的坐标．

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