黑龙江省大庆市名校2023-2024学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-07 类型：开学考试

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一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）

1. 集合 $M = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ， $N = {x | - 2 < x < 5}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$

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2. 已知是数 $z$ 满足 $(1 + i) z - 2 i = 3$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a (a - 3) > 0$ ”是“ $a > 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是一个水平放置的平面图形 $O A B C$ 的直观图，则图形 $O A B C$ 的面积是（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 已知 $a = l o g_{0.2} 3 ， b = 2^{0.3} ， c = 0 . 3^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{5 π}{6}$ B、 $- \frac{π}{6}$ B． C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 设 $a ， b$ 为两条直线， $α ， β$ 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $a / / α$ ， $b \subset α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / α$ ， $b / / β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $a ⊄ α ， b \subset α ， a / / b$ ，则 $a / / α$

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8. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 的图像是连续的， $f (x + 6) + f (x) = f (3)$ ， $f (x)$ 在区间 $[- 6 ， 0]$ 上是增函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为6 B、 $f (x)$ 在区间 $[12 ， 18]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 12$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[- 2022 ， 2022]$ 上共有100个零点

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二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）

9. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R ， x^{2} ≥ 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R ， x^{2} \leq 0$ ” B、若正数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $a b \leq \frac{1}{4}$ C、函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ 的最小正周期是 $π$ D、半径为1，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长等于 $\frac{π}{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 B、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ C、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$

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11. 已知a ， $b \in R$ ， $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则下列说法正确的为（）

A、ab的最小值为1 B、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \leq 0$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq 2 \sqrt{2}$

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12. 下列说法正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件 B、命题“ $\forall x \in R^{+} ， x + \frac{1}{x} > 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R^{+} ， x + \frac{1}{x} \leq 1$ ” C、若 $c o s^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ，则 $α = β$ D、 $y = l o g_{2} (- x^{2} + \frac{1}{4})$ 的最大值为-2

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三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）

13. 函数 $y = \frac{l g x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ 的定义域为.

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14. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ .

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15. $\frac{s i n (π - α) - 2 s i n (\frac{π}{2} + α)}{c o s (α - \frac{π}{2}) + c o s (2 π - α)} = - 1$ ，则 $\frac{1}{\tan^{2} α}$ ．

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16. 我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 3$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，则该“阳马”的外接球的表面积为．

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四、trong>、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，设 $(s i n B - s i n C)^{2} = s i n^{2} A - s i n B s i n C$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 4 ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

(1)、求异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成的角的大小；

(2)、求二面角 $C_{1} - A B - C$ 的大小.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 A D$ ， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E ， F$ 分别为棱 $A B ， P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P D E ⊥$ 平面 $P E C$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 4$ ， $P A = 3$ 且 $∠ A D B = ∠ B A C = 30 °$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D ， C D = 2 A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D ， P A ⊥ A D ， E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点．

求证：

(1)、 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ；

(2)、平面 $B E F / /$ 平面 $P A D$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象如图所示.

(1)、求函数的解析式.

(2)、求函数的单调递增区间.

(3)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围.

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