安徽省芜湖市名校2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-07 类型：开学考试

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一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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2. 正四棱台上、下底面边长分别为 $2 c m ， 4 c m$ ，侧棱长 $2 c m$ ，则棱台的侧面积为（）

A、 $12 \sqrt{3} c m^{2}$ B、 $3 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $24 c m^{2}$ D、 $6 c m^{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 安师大附中的学生积极参加体育锻炼，其中有 $96 %$ 的学生喜欢足球或游泳， $60 %$ 的学生喜欢足球， $82 %$ 的学生喜欢游泳，则安师大附中既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占本校学生总数的比例是（）

A、 $62 %$ B、 $56 %$ C、 $46 %$ D、 $42 %$

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5. 若 $c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边 $a ， b ， c$ 满足 $a + c = 2 b$ ，且 $A - C = 90 °$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、0

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减 D、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得 $y = 2 s i n 2 x$

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8. 把边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角 $D - A C - B$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的球心到平面 $B C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分．）

9. 已知复数 $z = - 3 + 4 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则下列各选项正确的是（）

A、 $| z | = 5$ B、 $z$ 的共轭复数在复平面上对应点在三象限 C、 $z$ 的虚部是 $4 i$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 7 = 0$ 的复数根

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10. 高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选两名同学去参加数学竞赛，则（）

A、恰有一名参赛学生是男生的概率为 $\frac{3}{5}$ B、至少有一名参赛学生是男生的概率为 $\frac{3}{5}$ C、至多有一名参赛学生是男生的概率为 $\frac{4}{5}$ D、两名参赛学生都是男生的概率为 $\frac{4}{5}$

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11. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，则下列选项正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 锐角三角形，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ B、若 $b = 6 ， c = 10 ， B = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、 $△ A B C$ 内切圆的半径 $r = \frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C} \cdot t a n B}{a + b + c}$ D、若 $A B ⊥ B C$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A C} |^{2}$

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12. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = B C = C C_{1} = 2 ， M$ 为线段 $B C$ 上的动点，则（）

A、 $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ B、三棱锥 $C_{1} - A M B_{1}$ 的体积不变 C、 $| A_{1} M | + | C_{1} M |$ 的最小值为 $3 + \sqrt{5}$ D、当 $M$ 是 $B C$ 的中点时，过 $A_{1} ， M ， C_{1}$ 三点的平面截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得的截面面积为 $\frac{26 π}{9}$

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三、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分．）

13. 已知随机事件 $A ， B$ 是互斥事件，且 $P (A) = 0.2 ， P (B) = 0.4$ ，则 $P (A ∪ B) =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ ．

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15. 若 $m ， n > 0$ ，且 $2^{m} \cdot 4^{n} = 2$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值等于．

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16. 四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点， $A B = 2 ， C D = 2 \sqrt{2} ， E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为．

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四、解答题（本题共5题，其中17，18，19题各8分，第20，21题各10分）

17. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (2 ， 1)$ ．

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线？

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} ， \vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，且 $\vec{A B} ， \vec{B C}$ 垂直，求 $m$ 的值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $4 a = \sqrt{5} c ， c o s C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $b = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）

求证：

(1)、直线 $A C ∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、平面 $A_{1} B C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ．

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20. 某高校承办了全国大学生运动会志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60百分位数（精确到 $0.1 ）$ ；

(3)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．

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21. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D ， A B = A D ， O$ 为 $B D$ 中点．（立体几何证明或求解过程中不可使用向量法）

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ ，且三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求二面角 $E - B C - D$ 的大小．

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