中考数学第一轮复习：锐角三角函数

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知一个正多边形的边心距与边长之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则这个正多边形的边数是（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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2. 已知“ $α$ 为锐角时， $s i n α$ 随着 $α$ 的增大而增大”，则 $s i n 37 °$ 的值更靠近（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（）

A、a＝csinA B、a＝btanA C、 $c = \frac{b}{\cos B}$ D、sin²A+sin²B＝1

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4. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 $28 °$ ，高为7米．用计算器求 $A B$ 的长，下列按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B C$ ， $B D$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $B P$ ，过点C作 $B P$ 的垂线分别交 $B D ， A D$ 于点M，N，则 $C N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $t a n A = 3$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，若点 $E$ 是线段 $B D$ 上一动点，则 $C E + \frac{\sqrt{10}}{10} B E$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $10$

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8. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 翻折，得到 $△ A F E$ ，延长 $E F$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N .$ 下列结论： $① s i n ∠ A M E = \frac{4}{5}$ ； $② A D = 3 D M$ ； $③ B E + D N = E N$ ； $④ A M = E M .$ 其中正确的结论是（）

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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10. 如图，直线l： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别与x轴、y轴交于点A、B ．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆 $⊙ C$ ，延长OC交 $⊙ C$ 于点D ，当△POD的面积最小时，则 $⊙ C$ 的半径长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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二、填空题

11. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 $s i n ∠ A B C =$ ．

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12. 比较大小：sin35°cos45°.

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A D 、 A B$ 上， $E F ⊥ C E$ ．将 $△ C D E$ 沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段 $C F$ 上，那么 $∠ E F C$ 的正切值是．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，按下列步骤作图：①在 $A C$ 和 $A B$ 上分别截取 $A D$ 、 $A E$ ，使 $A D = A E$ ． ②分别以点D和点E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点M ． ③作射线 $A M$ 交 $B C$ 于点F ．若点P是线段 $A F$ 上的一个动点，连接 $C P$ ，则 $C P + \frac{1}{2} A P$ 的最小值是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为边 $A B$ 的中点，点E在边 $A C$ 上， $A E = B C = 2$ ，将 $△ B C E$ 沿BE折叠至 $△ B C^{'} E$ ，当 $C^{'} E ∥ C D$ 时，则 $B E =$ ．

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16. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中

(1)、 $∠ α =$ 度．

(2)、中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为矩形内一点，且 $A B = 1$ ， $A D = \sqrt{3} ， ∠ B A E = 75 ° ， ∠ B C E = 60 °$ ，则四边形 $A B C E$ 的面积是．

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = a$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $A D$ 上的动点，且 $A E + A F = a$ ，则线段 $E F$ 的最小值为.

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19. 圆 $⊙ O$ 的半径为4，AB、CD是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $A B = C D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $S_{△ A O D} + S_{△ B O C}$ 最大为．

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三、计算题

20. 先化简，再求代数式 $(\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 2}) \div \frac{x - 1}{4 x + 4}$ 的值，其中 $x = 2 c o s 45 ° - 1$ ．

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四、解答题

21. 如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成 $30 °$ 角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转 $140 °$ 时，传送带上点 $A$ 处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）

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22. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得 $A B = 120 c m$ ， $B D = 80 c m$ ， $∠ A B D = 105 °$ ， $∠ B D Q = 60 °$ ，底座四边形 $E F P Q$ 为矩形， $E F = 5 c m$ ．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面 $P F$ 的距离．（结果精确到 $1 c m$ ．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 如图，小颖家所在居民楼高 $A B$ 为 $46 m$ ，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角 $α$ 是 $45 °$ ，而大厦底部D的俯角 $β$ 是 $37 °$ ．

(1)、求两楼之间的距离 $B D$ ．

(2)、求大厦的高度 $C D$ ．
（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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24. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西 $25 °$ 方向上，B位于C的北偏西 $55 °$ 方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西 $20 °$ 方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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五、综合题

25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是圆上的一点， $C D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ ，若 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，延长 $A B$ ， $D C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A F \cdot A C = A E \cdot A H$ ；

(3)、若 $s i n ∠ D E A = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{A H}{F H}$ 的值．

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26. 公园草坪上有一架秋千 $O A$ ，秋千静止时，底端 $A$ 到地面的距离 $A B$ 为 $0.5 m$ ，从坚直位置开始，向右可摆动的最大夹角为 $α ， s i n α = \frac{3}{5}$ ，已知秋千的长 $O A = 2 m$ ．

(1)、如图1，当向右摆动到最大夹角时，求 $A^{'}$ 到地面的距离；

(2)、如图2，若有人在 $B$ 点右侧搭建了一个等腰 $△ P C D$ 帐篷，已知 $B C = 0.6 m ， C D = 2 m$ ，帐篷的高 $P H$ 为 $1.8 m$ ，秋千摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？

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27. 如图1，在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 10$ ，动点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿边 $AD$ ， $DC$ 向点 $C$ 运动.

(1)、当点 $E$ 在边 $AD$ 上，且 $DE = 4$ 时，求 $∠ AEB$ 的度数.

(2)、当 $△ BCE$ 的面积为20时，求 $DE$ 的长.

(3)、如图2，若 $MN$ ， $AD$ 关于直线 $BE$ 对称.
$①$ 连结 $BN$ ， $BM$ ，当点 $E$ 在边 $AD$ 上时，求 $△ BMN$ 的面积.

$②$ 当直线 $MN$ 恰好经过点 $C$ 时，请直接写出 $DE$ 的长度.

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28. 如图， $A E$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A ，与 $O C$ 延长线交于点B ，过点B作 $B D ⊥ O B$ ，交 $A C$ 的延长线于点D ．

(1)、求证： $A B = B D$ ；

(2)、点F为 $⊙ O$ 上一点，连接 $E F$ ， $B F$ ， $B F$ 与 $A E$ 交于点G ．若 $∠ E = 45 °$ ， $A B = 5$ ， $t a n ∠ A B G = \frac{3}{7}$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $A D$ 的长．

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29. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

(1)、海港C受台风影响吗？为什么？

(2)、若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

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30. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶 $600 m$ 高的山峰，由山底A处先步行 $300 m$ 到达 $B$ 处，再由 $B$ 处乘坐登山缆车到达山顶 $D$ 处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡 $A B$ 的坡角为 $30 °$ ，缆车行驶路线 $B D$ 与水平面的夹角为 $53 °$ （换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)、求登山缆车上升的高度 $D E$ ；

(2)、若步行速度为 $30 m / m i n$ ，登山缆车的速度为 $60 m / m i n$ ，求从山底A处到达山顶 $D$ 处大约需要多少分钟（结果精确到 $0.1 m i n$ ）
（参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.80 ， c o s 53 ° \approx 0.60 ， t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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31. 小亮利用所学的知识对大厦的高度 $C D$ 进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是 $30 °$ ，测得大厦顶部的仰角是 $37 °$ ，已知他家楼顶B处距地面的高度 $B A$ 为40米（图中点A ， B ， C ， D均在同一平面内）．

(1)、求两楼之间的距离 $A C$ （结果保留根号）；

(2)、求大厦的高度 $C D$ （结果取整数）．
（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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32. 如图，一条笔直的公路l经过博物馆A和公园C，现要进一步开发景区B，经测量，景区B位于博物馆A的北偏东60°方向上、位于公园C的北偏东30方向上，且AC=16km

(1)、求公园C与景区B的距离；

(2)、为了方便游客到景区B游玩，景区管委会准备由景区B向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求这条最短公路的长.(结果保留根号)

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