中考数学第一轮复习：图形的相似

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知： $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} (a \neq 0)$ ，则 $\frac{a + b}{2 a}$ 的值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 如图，已知 $A B / / C D / / E F ， A D = 3 ， B C = 4 ， D F = 5$ ，则 CE的长为（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $\frac{20}{3}$ C、6 D、 $\frac{15}{4}$

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3. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F ，则AF：EF等于（）

A、1：1 B、4：3 C、3：2 D、2：3

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4. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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5. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）

A、甲和乙 B、甲和丙 C、乙和丙 D、甲、乙和丙

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使 $D A$ 边落在 $D C$ 边上，点 $A$ 落在点 $H$ 处，折痕为 $D E$ ；使 $C B$ 边落在 $C D$ 边上，点 $B$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $C F$ ．若矩形 $H E F G$ 与原矩形 $A B C D$ 相似， $A D = 1$ ，则 $C D$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 $\frac{A E}{A C}$ ＝ $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{16}$

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8. 如图， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B ∥ D C$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点， $M N ∥ A C$ ，交 $B D$ 于点 $N$ ．若 $D O ： O B = 1 ： 2 ， A C = 12$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， ∠ B A C = 108 °$ ，点P在 $B C$ 边上，若 $A P$ 是 $∠ B A C$ 的三等分线，则 $B P$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ 或5 B、 $\sqrt{5} + 1$ 或 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ 或2 D、 $\sqrt{5} + 1$ 或2

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10. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ .当 $A B = B C ， ∠ B O C =$ $3 0^{°} ， D E = 2$ 时，EH的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题

11. 两个相似图形的周长比为 $3 ： 2$ ，则面积比为．

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12. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片 $A B C D$ 如图所示，点 $N$ 在边 $A D$ 上，现将矩形折叠，折痕为 $B N$ ，点 $A$ 对应的点记为点 $M$ ，若点 $M$ 恰好落在边 $D C$ 上，则图中与 $△ N D M$ 一定相似的三角形是．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (7 ， 0)$ ， $C (7 ， 5)$ ， $D (2 ， 5)$ ，给出如下定义：若点P关于直线 $l$ ： $x = t$ 的对称点Q在四边形 $A B C D$ 的内部或边上，则称该点P为四边形 $A B C D$ 关于直线的“相关点”，点 $P (m ， 3)$ 是四边形 $A B C D$ 关于直线 $l$ ： $x = 1$ 的“相关点”，且 $△ A B Q$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形，则m的值为；直线 $y = \frac{1}{3} x + b$ 上存在点P，使得点P是四边形 $A B C D$ 关于直线 $l$ ： $x = 1$ 的“相关点”，则 $b$ 的取值范围为．

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三、作图题

15. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， $△ A B C$ 的顶点在格点上，请使用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.

(1)、在图1中，以点O为位似中心，作格点 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使它与 $△ A B C$ 的位似比为2：1；

(2)、在图2中，作格点 $△ A C D$ （D与B不重合），使它与 $△ A B C$ 相似，且AC为公共边，∠A为公共角.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单位长度，已知\ $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (- 6 ， 4) ， B (- 2 ， 6) ， C (- 4 ， 2)$ ．

⑴画出 $△ A B C$ 沿着x轴向右平移5个单位长度得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，请在位似中心同侧画出缩小后的△A₂B₂C₂ ．

⑶直接写出线段C₁C₂的长．

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四、综合题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 边上的点．

(1)、求作：平行四边形 $A D C E$ ； $($ 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、在（1）所作的图形中，已知 $A D = \frac{1}{3} A B$ ， $B C = 5$ ， $A C = 12$ ，求四边形 $A D C E$ 的面积．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， 2)$ ，与 $x$ 轴的交点为点 $B (\sqrt{3} ， 0)$ 和点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、点 $E$ ， $G$ 在 $y$ 轴正半轴上， $O G = 2 O E$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上， $O D = \sqrt{3} O E ．$ 以线段 $O D$ ， $O E$ 为邻边作矩形 $O D F E$ ，连接 $G D$ ，设 $O E = a$ ．
$①$ 连接 $F C$ ，当 $△ G O D$ 与 $△ F D C$ 相似时，求 $a$ 的值；

$②$ 当点 $D$ 与点 $C$ 重合时，将线段 $G D$ 绕点 $G$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 后得到线段 $G H$ ，连接 $F H$ ， $F G$ ，将 $△ G F H$ 绕点 $F$ 按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α \leq 180 °)$ 后得到 $△ G^{'} F H^{'}$ ，点 $G$ ， $H$ 的对应点分别为 $G^{'}$ 、 $H^{'}$ ，连接 $D E ．$ 当 $△ G^{'} F H^{'}$ 的边与线段 $D E$ 垂直时，请直接写出点 $H^{'}$ 的横坐标．

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五、实践探究题

19. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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20. 综合与实践

(1)、【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $G D ⊥ D F$ ， $A G ⊥ D G$ ， $A G = C F$ ．试猜想四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、【实践探究】
小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $A H ⊥ C E$ 于点H， $G D ⊥ D F$ 交 $A H$ 于点G，可以用等式表示线段 $F H$ ， $A H$ ， $C F$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题；

(3)、【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $A H ⊥ C E$ 于点H，点M在 $C H$ 上，且 $A H = H M$ ，连接 $A M$ ， $B H$ ，可以用等式表示线段 $C M$ ， $B H$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题．

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