中考数学第一轮复习：圆

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图，A ， B ， C是 $⊙ O$ 上的三点，若 $∠ A O C = 90 ° ， ∠ A C B = 25 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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2. 在同一平面内，已知 $⊙ O$ 的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）

A、2 B、5 C、6 D、8

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3. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在直线 $l$ 上，点 $P$ 在直线 $l$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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4. 如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（）

A、x+y＝90° B、x-2y＝90° C、x+180°＝2y D、4y-x＝360°

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5. 如图， $⊙ O$ 是锐角三角形ABC的外接圆， $O D ⊥ A B ， O E ⊥ B C ， O F ⊥ A C$ ，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若 $D E + D F = 6.5 ， △ A B C$ 的周长为21，则EF的长为（）

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3$ ， $∠ D = 120 °$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长是（）

A、 $π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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7. 已知一个正多边形的每个外角等于45°，则这个正多边形是（）

A、正五边形 B、正六边形 C、正七边形 D、正八边形

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8. 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $π$ 的近似值为3.1416．如图， $⊙ O$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $⊙ O$ 的面积，可得 $π$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $π$ 的估计值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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9. $⊙ O$ 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与 $⊙ O$ 的位置关系是 $($ $)$

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法确定

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10. 如图，点A是 $⊙ O$ 上一定点，点B是 $⊙ O$ 上一动点、连接 $O A$ 、 $O B$ 、 $A B$ ，分别将线段 $A O$ 、 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ 到 $A A^{'}$ 、 $A B^{'}$ ，连接 $O A^{^{'}}$ 、 $B B^{'}$ 、 $A^{'} B^{'}$ 、 $O B^{^{'}}$ ，下列结论：①点 $A^{'}$ 在 $⊙ O$ 上；② $△ O A B ≌ △ A^{'} A B^{'}$ ；③ $∠ B B^{'} A^{'} = \frac{1}{2} ∠ B O A^{'}$ ；④当 $O B^{'} = 2 O A$ 时， $A B^{'}$ 与 $⊙ O$ 相切．正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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11. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 3 ， A C = 4$ ，下列说法错误的是（　　）

A、 $1 < A B < 7$ B、 $S_{△ A B C} \leq 6$ C、 $△ A B C$ 内切圆的半径 $r < 1$ D、当 $A B = \sqrt{7}$ 时， $△ A B C$ 是直角三角形

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12. 如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上， $∠ A B C = 40 °$ ，连接 $O A$ ， $O C$ ．若 $⊙ O$ 的半径为3，则扇形 $A O C$ （阴影部分）的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $2 π$

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13. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B = 10$ ， $D E$ 是弦， $A B ⊥ D E$ ， $\overset{⌢}{C E B} = \overset{⌢}{E B D}$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $A D$ 的延长线与 $C B$ 的延长线相交于点 $F$ ， $D B$ 的延长线与 $O E$ 的延长线相交于点 $G$ ，连接 $C G$ ．下列结论中正确的个数是（）
① $∠ D B F = 3 ∠ D A B$ ；

② $C G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

③B，E两点间的距离是 $\sqrt{10}$ ；

④ $D F = \frac{11 \sqrt{10}}{9}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

14. 如图，在半径为3的 $⊙ O$ 中，点A是劣弧 $B C$ 的中点，点D是优弧 $B C$ 上一点，且 $∠ D = 30 °$ ，则 $B C$ 的长度是．

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15. 如图，线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点H，点 $M$ 是弧 $B C$ 上任意一点（不与B，C重合）， $A H = 1$ ， $C H = 2$ .延长线段 $B M$ 交 $D C$ 的延长线于点E，直线 $M H$ 交 $⊙ O$ 于点N，连结 $B N$ 交 $C E$ 于点F，则 $O C =$ ， $H E \cdot H F =$ .

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16. 生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为．

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17. 半径为 $5 c m$ 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 $c m$ ．

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18. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为里．

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19. 已知 $⊙ O_{1}$ 的半径为 $1$ ， $⊙ O_{2}$ 的半径为 $r$ ，圆心距 $O_{1} O_{2} = 5$ ，如果在 $⊙ O_{2}$ 上存在一点 $P$ ，使得 $P O_{1} = 2$ ，则 $r$ 的取值范围是．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B$ 为切点， $A O$ 的延长线交 $⊙ O$ 于 $C$ 点，连接 $B C$ ，如果 $∠ A = 30 °$ ， $A B = \sqrt{3} c m$ ，那么 $A C$ 的长等于．

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21. 已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．

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22. 一个扇形的圆心角是 $150 °$ ，弧长是 $\frac{5}{2} π c m$ ，则扇形的半径是cm．

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23. 若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120 $°$ 的扇形，则该圆锥的母线长是．

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24. 如图，一个圆桶底面直径为5cm，高12cm，则桶内所能容下的最长木棒为cm.

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三、解答题

25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C ， D是 $⊙ O$ 上 $A B$ 异侧的两点， $D E ⊥ C B$ ，交 $C B$ 的延长线于点E ，且 $B D$ 平分 $∠ A B E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 4$ ，求图中阴影部分的面积．

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26. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，N为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $O N$ 交 $A C$ 于点H ．

(1)、如图①，求证 $B C = 2 O H$ ；

(2)、如图②，点D在 $⊙ O$ 上，连接 $D B$ ， $D O$ ， $D C$ ， $D C$ 交 $O H$ 于点E ，若 $D B = D C$ ，求证 $O D ∥ A C$ ；

(3)、如图③，在（2）的条件下，点F在 $B D$ 上，过点F作 $F G ⊥ D O$ ，交 $D O$ 于点G ． $D G = C H$ ，过点F作 $F R ⊥ D E$ ，垂足为R ，连接 $E F$ ， $E A$ ， $E F ： D F = 3 ： 2$ ，点T在 $B C$ 的延长线上，连接 $A T$ ，过点T作 $T M ⊥ D C$ ，交 $D C$ 的延长线于点M ，若 $F R = C M ， A T = 4 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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四、综合题

27. 如图，O为坐标原点，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，半径为2的 $⊙ O$ 经过A、B两点．

(1)、写出A、B两点的坐标；

(2)、求此一次函数的解析式；

(3)、求圆心O到直线 $A B$ 的距离．

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28. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $C$ ， $A E ⊥ D C$ ，垂足为 $E$ ．连接 $A C$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ B A E$ ；

(2)、若 $A C = 5$ ， $t a n ∠ A C E = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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29. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $F$ 是 $A B$ 延长线上一点，连接 $C F$ ， $A D$ ， $∠ F C D = 2 ∠ D A F$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $A F = 10$ ， $s i n F = \frac{2}{3}$ ，求 $C D$ 的长．

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30. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙ $O$ ， ⊙ $O$ 的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝CE，过点D作 $D F ∥ B C$ 交AC的延长线于点F．

(1)、求证：DF是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $s i n ∠ B A D = \frac{1}{3}$ ， AB＝6，求DF的长．

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31. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上， $O A = 3$ ， $A B = 2$ ，以O为圆心， $O A$ 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线 $A C$ ，且 $A C = 4$ （点C在A的上方）；

②连接 $O C$ ，交 $⊙ O$ 于点D；

③连接 $B D$ ，与 $A C$ 交于点E．

(1)、求证： $B D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求 $A E$ 的长度．

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32. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D ，交线段 $B C$ 于点E ，交抛物线于点F ，过点F作直线 $B C$ 的垂线，垂足为点G.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、以点G为圆心， $B G$ 为半径画 $⊙ G$ ；以点E为圆心， $E F$ 为半径画 $⊙ E$ .当 $⊙ G$ 与 $⊙ E$ 内切时.
①试证明 $E F$ 与 $E B$ 的数量关系；

②求点F的坐标.

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33. 梯形 $A B C D$ 中， $A D$ ， $D C ⊥ B C$ 于点 $C$ ， $A B = 10$ ， $t a n B = \frac{4}{3}$ ， $⊙ O_{1}$ 以 $A B$ 为直径， $⊙ O_{2}$ 以 $C D$ 为直径，直线 $O_{1} O_{2}$ 与 $⊙ O_{1}$ 交于点 $M$ ，与 $⊙ O_{2}$ 交于点 $N$ （如图），设 $A D = x$ ．

(1)、记两圆交点为 $E$ 、 $F$ （ $E$ 在上方），当 $E F = 6$ 时，求 $x$ 的值；

(2)、当 $⊙ O_{2}$ 与线段 $A O_{1}$ 交于 $P$ 、 $Q$ 时，设 $P Q = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出定义域；

(3)、连接 $A M$ ，线段 $A M$ 与 $⊙ O_{2}$ 交于点 $G$ ，分别连接 $N G$ 、 $O_{2} G$ ，若 $Δ G M N$ 与 $Δ G N O_{2}$ 相似，求 $x$ 的值．

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34. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是边 $B C$ 上的动点， $E$ 在 $△ A B P$ 的外接圆上，且位于正方形 $A B C D$ 的内部， $E A = E P$ ，连结 $A E$ ， $E P$ ．

(1)、求证： $△ P A E$ 是等腰直角三角形；

(2)、如图 $2$ ，连结 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，请探究线段 $D E$ 与 $P F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、当点 $P$ 是 $B C$ 的中点时， $D E = 4$ ．
①求 $B C$ 的长；
②若点 $Q$ 是 $△ A B P$ 外接圆上的动点，且位于正方形 $A B C D$ 的外部，连结 $A Q .$ 当 $∠ P A Q$ 与 $△ A D E$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $A Q$ 的长．

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五、实践探究题

35.


(1)、【感知】如图①，点A、B、P均在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 90 °$ ，则锐角 $∠ A P B$ 的大小为度．

(2)、【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，点P在 $\overset{⌢}{A C}$ 上（点P不与点A、C重合），连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．求证： $P B = P A + P C$ ．小明发现，延长 $P A$ 至点E，使 $A E = P C$ ，连结 $B E$ ，通过证明 $△ P B C ≌ △ E B A$ ，可推得 $P B E$ 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 $P A$ 至点E，使 $A E = P C$ ，连结 $B E$ ，
      $∵$ 四边形 $A B C P$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，
      $∴ ∠ B A P + ∠ B C P = 180 °$ ．
      $∵ ∠ B A P + ∠ B A E = 180 °$ ，
      $∴ ∠ B C P = ∠ B A E$ ．
      $∵ △ A B C$ 是等边三角形．
      $∴ B A = B C$ ，
      $∴ △ P B C ≌ △ E B A (S A S)$
请你补全余下的证明过程．

(3)、【应用】如图③， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C$ ，点P在 $⊙ O$ 上，且点P与点B在 $A C$ 的两侧，连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．若 $P B = 2 \sqrt{2} P A$ ，则 $\frac{P B}{P C}$ 的值为．

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36. 【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①， $∠ A P B$ 是点P对线段 $A B$ 的视角．

(1)、【应用】
如图②，在直角坐标系中，已知点 $A (2 ， \sqrt{3})$ ， $B (2 ， 2 \sqrt{3})$ ， $C (3 ， \sqrt{3})$ ，则原点O对三角形 $A B C$ 的视角为；

(2)、如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆 $O_{1}$ ，以原点O，半径为4画圆 $O_{2}$ ，证明：圆 $O_{2}$ 上任意一点P对圆 $O_{1}$ 的视角是定值；

(3)、【拓展应用】
很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为 $45 °$ 的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为 $x = - 5$ ，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．

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