中考数学第一轮复习：四边形

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是（）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 26$ ，且 $B D ， C E$ 分别是 $A C ， A B$ 上的高， $F ， G$ 分别是 $B C ， D E$ 的中点，若 $E D = 10$ ，则 $F G$ 的长为（）

A、10 B、12 C、13 D、14

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3. 下列叙述错误的是（）

A、平行四边形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等 C、对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、对角线相等的四边形是矩形

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 的外侧作等边三角形 $A D E$ ，则 $∠ A E B$ 度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $22.5 °$ D、 $30 °$

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5. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（）

A、 $A B = C D$ B、 $B C = C D$ C、 $∠ D = 90 °$ D、 $A C = B D$

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6. 如图，在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3} + 2 ， A D = \sqrt{3}$ .把AD沿AE折叠，使点 $D$ 恰好落在AB边上的 $D^{^{'}}$ 处，再将 $△ A E D^{^{'}}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ A^{^{'}} E D^{^{'}^{'}}$ ，使得 $E A^{^{'}}$ 恰好经过 $B D^{^{'}}$ 的中点 $F$ .设 $A^{^{'}} D^{^{'}^{'}}$ 交AB于点 $G$ ，连接 $A A^{^{'}}$ .有如下结论：① $α = 7 5^{°}$ ；② $A^{^{'}} F$ 的长度是 $\sqrt{6} - 2$ ；③ $∠ A^{^{'}} A F = 7 . 5^{°}$ ；④ $△ A A^{^{'}} F ~ △ E G F$ .上述结论中，正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 下列说法正确的个数有（）
①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线

A、 $4$ 个 B、 $3$ 个 C、 $2$ 个 D、 $1$ 个

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B ＝ 90 ° ， A B ＝ 12 c m ， A D ＝ 36 c m ， B C ＝ 40 c m$ ．点 $P$ 从点A出发，以 $3 c m / s$ 的速度向点D运动；点 $Q$ 从点C同时出发，以 $1 c m / s$ 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒，下列结论错误的是（）

A、当 $t = 9$ 时， $P Q ∥ D C$ B、当 $t = 10$ 时， $P Q ⊥ B C$ C、当 $t = 9$ 或 $11.5$ 时， $P Q = C D$ D、当 $t = 12$ 时，四边形 $A B Q P$ 的最大面积为 $384 c m^{2}$

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $B C = 2 A B$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，连接 $O E$ ，下列结论中正确的有（）
① $∠ A D B = 30 °$ ；② $A B = 2 O E$ ；③ $D E = A B$ ；④ $O D = C D$ ；⑤ $S_{▱ A B C D} = A B \cdot B D$

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 中点，连接 $A E$ 、 $B D$ 相交于点 $F$ ，点 $G$ 在 $C D$ 上，且 $D G$ ： $G C = 1$ ： $2$ ，则四边形 $D F E G$ 的面积为（）

A、 $2 c m^{2}$ B、 $4 c m^{2}$ C、 $6 c m^{2}$ D、 $8 c m^{2}$

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二、填空题

11. 过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为．

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12. 正多边形的一个内角是108°，则这个多边形的边数是.

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13. 图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中 $∠ C = ∠ E = 90 °$ ， $∠ A = ∠ B = ∠ D$ ，则 $∠ A$ 的度数是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD为BC边上的中线，若 $△ A B D$ 与 $△ A D C$ 的周长差为3， $A B = 8$ ，则 $A C =$ ．

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点O、M分别是 $A C$ 、 $A D$ 的中点， $O M = 3$ ， $O B = 5$ ，则 $B C$ 的长为．

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16. 我们把两条对角线长度之比为 $1 ： 2$ 的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是．

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17. 如图，直角 $△ A B C$ ，沿着点B到C点的方向平移到 $△ D E F$ 的位置， $A B = 10$ ， $D H = 3$ ，若阴影部分的面积是42.5，则平移距离为．

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18. 已知在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A C ⊥ B D$ ，垂足为点O，如果 $B D = 8 c m$ ，那么梯形 $A B C D$ 的上下底之和等于 $c m$ ．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B D = 12$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ B C$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为．

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三、解答题

20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O ， A E ⊥ B D ， C F ⊥ B D$ ，垂足分别为 $E 、 F$ ．求证：

(1)、 $△ A E O ≌ △ C F O$ ；

(2)、 $B E = D F$ ．

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21. 如图， $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 中边 $A D$ 延长线的上一点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $B D$ ．若 $∠ A B D = ∠ D C E$ ，求证：四边形 $B C E D$ 为平行四边形．

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22. 在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，点 $E$ 是 $A D$ 边上的一点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，点 $A$ 的对应点为点 $F$ ，射线 $E F$ 与线段 $B C$ 交于点 $G$ ．

(1)、如图1，当 $E$ 点和 $D$ 点重合时，求证： $B G = D G$ ；

(2)、如图2，连接 $D F$ ， $C F$ ，若 $D F = C F$ ，求 $△ C D F$ 的面积．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过 $A B$ 上一点 $D$ 作 $D E ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，以 $E$ 为顶点， $E D$ 为一边，作 $∠ D E F = ∠ A$ ，另一边 $E F$ 交 $A C$ 于点 $F$

(1)、求证：四边形 $A D E F$ 是平行四边形；

(2)、延长图①中的 $D E$ 到点 $G$ ，使 $E G = D E$ ，连接 $A E$ ， $A G$ ， $F G$ ，得到图②，若 $A D = A G$ ，判断四边形 $A E G F$ 的形状，并说明理由．

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24. 如图1，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，折叠纸片使点 $B$ 落在 $A D$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $P Q$ ，过点 $E$ 作EF//AB交 $P Q$ 于点 $B F$ .

(1)、求证：四边形 $B F E P$ 为菱形；

(2)、当折痕 $P Q$ 的点 $Q$ 与点 $C$ 重合时（如图2），求菱形 $B F E P$ 的边长.

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25. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且 $B E = D F$ ，连结AE、CE、AF、CF．

(1)、求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)、若 $A C ⊥ B D$ ， $∠ A E C = 120 °$ ， $A O = \sqrt{3}$ ，求四边形AECF的周长．

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26. 如图，过点C在正方形 $A B C D$ 的外部作直线 $l$ ，点D关于直线 $l$ 的对称点为 $D^{'}$ ，连接 $B D^{'}$ 交直线 $l$ 于点G，过点B作 $B F ∥ D D^{'}$ 交直线 $l$ 于点F，连接 $D D^{'}$ 交直线 $l$ 于点E．

(1)、求证： $D E = C F$ ．

(2)、求证： $D G ⊥ B D^{'}$

(3)、若 $A B ＝ 2 ， ∠ B C F ＝ 60 °$ ，求 $B D^{'}$ 的长．

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27. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，在 $A C$ 上截取 $O E = O F = O B$ ，顺次连接 $B$ ， $F$ ， $D$ ， $E$ 四点．求证：四边形 $B F D E$ 是正方形，

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28. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交点O，E是 $B D$ 延长线上的点，且 $△ A C E$ 是等边三角形．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $∠ A E D = 2 ∠ E A D ， A B = 4 \sqrt{5}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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29. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，过点 $A$ 作 $D E ∥ B C$ （ $D E < B C$ ），且 $D A = E A$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $D B C E$ 是等腰梯形；

(2)、点 $F$ 在腰 $C E$ 上，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，若 $∠ F B D = 60 °$ ，求证： $C G = \frac{1}{2} D E$ ．

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30. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，线段 $C D$ 绕点C逆时针旋转到 $C E$ 处，旋转角为 $α$ ，点F在直线 $D E$ 上，且 $A D = A F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、如图1，当 $0 ° < α < 90 °$ 时，
①求 $∠ B A F$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．
②求证： $E F = \sqrt{2} B F$ ．

(2)、如图2，取线段 $E F$ 的中点G ，连接 $A G$ ，已知 $A B = 2$ ，请直接写出在线段 $C E$ 旋转过程中（ $0 ° < α < 360 °$ ） $△ A D G$ 面积的最大值．

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31. 如图，点E在正方形 $A B C D$ 内，且满足 $∠ A E B = 90 °$ ， $A E = 8$ ， $B E = 6$ ，求图中阴影部分的面积．

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四、综合题

32. 如图

(1)、如图所示，小迪用四根长度分别为a，b，c，d的木条和直角尺按照如示搭了一个四边形木框，搭出的木框(木框的宽度忽略不计)的形状是；

(2)、用(1)中的四根木条重新组合，搭出(1)中形状的木框的最大面积是.

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33. 已知：如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O， $B E ∥ A C$ ， $C E ∥ D B$ ，且 $∠ B O C + 2 ∠ O B C = 180 °$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、若 $∠ A O B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，求四边形 $O B E C$ 的面积．

(3)、在（2）的条件下，若点F为边 $A D$ 上的一个动点，点F到 $A C$ 与 $B D$ 的距离之和为a，则 $a =$ ．（直接写出答案）

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34. 如图，在平面直角坐标系

x O y

中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，表格列举的是直线l上的点

P (x ， y)

的取值情况．

x	…	$- 1$	0	1	2	3	4	5	…
y	…	5	4	3	2	1	0	$- 1$	…

(1)、观察表格，直接写出直线l上的点

P (x ， y)

的横坐标x与纵坐标y之间的数量关系为；

(2)、若点

C (m ， n)

在第一象限，且满足

△ A B C

的面积为6，求点

C (m ， n)

的横、纵坐标满足的数量关系；

(3)、在（2）的条件下，直线

O C

与直线

A B

相交于点D，若三角形

A O C

的面积不大于三角形

B C D

的面积，求点

C (m ， n)

的横坐标m的取值范围．

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35. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = ∠ A D C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为平行四边形；

(2)、点E为 $B C$ 边的中点，连接 $A E$ ，过E作 $E F ⊥ A E$ 交边 $C D$ 于点F，连接 $A F$ ．
①求证： $A F = A B + C F$ ；
②若 $A F ⊥ C D$ ， $C F = 3$ ， $D F = 4$ ，求 $A E$ 与 $C E$ 的值．

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36. 四边形 $A B C D$ ，点 $M 、 N 、 P 、 Q$ 分别是边 $A B 、 B C 、 C D 、 A D$ 的中点．

(1)、如图1，顺次连结 $M 、 N 、 P 、 Q$ 得到四边形 $M N P Q$ ，试猜想四边形 $M N P Q$ 的形状并证明；

(2)、如图2，若 $∠ B = ∠ C ， A B = C D$ ，顺次连结 $M 、 N 、 P 、 Q$ 得到四边形 $M N P Q$ ，试猜想四边形 $M N P Q$ 的形状并证明．

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