中考数学第一轮复习：三角形综合

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $A E ⊥ B D$ 于E，若 $B E = E O$ ，则 $A D$ 的长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

查看试题解析
2. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ， B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

查看试题解析
3. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝45°，且AE＝AF＝ $\sqrt{2}$ ，则平行四边形ABCD的周长是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 2$ C、 $2 (\sqrt{2} + 1)$ D、8

查看试题解析
4. 已知菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 的长度恰为方程的 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 两个实数根，则菱形 $A B C D$ 的周长为（　　）

A、12 B、16 C、20 D、24

查看试题解析
5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $30 °$ 到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $C^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边的延长线上，则 $∠ C A B =$ （）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

查看试题解析
6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，分别交 $B C$ 、 $B D$ 于点 $E$ 、 $P$ ，连接 $O E$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = 4$ ，则下列结论：① $∠ C A D = 30 °$ ， ② $O E = \frac{1}{4} A D$ ， ③ $B D = 4 \sqrt{6}$ ， ④ $S_{△ B E O} = 2 \sqrt{3}$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
7. 如果正整数a、b、c满足等式 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 $x + y$ 的值为（）
a
b
c
3
4
5
8
6
10
15
8
17
24
10
26
…
…
…
x
14
y

A、67 B、34 C、98 D、73

查看试题解析
8. 如图， $∠ M A N = 60 °$ ，在射线 $A M$ ， $A N$ 上分别截取 $A C = A B = 6$ ，连接 $B C$ ， $∠ M A N$ 的平分线交 $B C$ 于点D ，点E为线段 $A B$ 上的动点，作 $E F ⊥ A M$ 交 $A M$ 于点F ，作 $E G ∥ A M$ 交射线 $A D$ 于点G ，过点G作 $G H ⊥ A M$ 于点H ，点E沿 $A B$ 方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x ，四边形 $E F H G$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 如图，在△ABC中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ， △ABD ， △ACE ， △BCF都是等边三角形，下列结论中：① $A B ⊥ A C$ ；②四边形AEFD是平行四边形；③ $∠ D F E = 150 °$ ；④ $S_{四边形 A E F D} = 6$ ．正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
10. 如图，点P为定角 $∠ A O B$ 平分线上的一个定点，且 $∠ M P N$ 与 $∠ A O B$ 互补．若 $∠ M P N$ 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与 $O A$ 、 $O B$ 相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）

A、 $O M + O N$ 的值不变 B、 $∠ P N M = ∠ P O B$ C、 $M N$ 的长不变 D、四边形 $P M O N$ 的面积不变

查看试题解析

二、填空题

11. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，对角线 $A C ⊥ B C$ ， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 6 c m$ ，则梯形 $A B C D$ 的面积为．

查看试题解析
12. 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于 $O$ ， $A C = 8 c m$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，则 $A B =$ ．

查看试题解析
13. 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.在△ABC中，∠C=90°，斜边AB=13，AC=12，则BC的长度为.

查看试题解析
14. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若 $b - a = 2$ ，每个直角三角形的面积为15，则c的长为．

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列条件：① $∠ A$ 与 $∠ B$ 互余；② $(a + b) (a - b) = c^{2}$ ；③ $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 1 ： 2 ： 1$ ，其中可以判定 $△ A B C$ 是直角三角形的有个．

查看试题解析
16. 如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是．

查看试题解析
17. 如图， $A B = 8 c m$ ， $∠ A = ∠ B$ ， $A C = B D = 6 c m$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上以 $1 c m / s$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $Q$ 在线段 $B D$ 上以 $x c m / s$ 的速度由点 $B$ 向点 $D$ 运动．它们运动的时间为 $t (s)$ ．当 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等时， $x$ 的值为．

查看试题解析
18. 如图，在 $△ A B C$ 中，将 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $α$ 至 $A B^{'}$ ，将 $A C$ 绕点A逆时针旋转 $β$ 至 $A C^{'} (0 ° < α < 180 ° ， 0 ° < β < 180 °)$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，使 $∠ B A C + ∠ B^{'} A C^{'} = 180 °$ ，我们称 $△ A B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 的“旋补三角形”， $△ A B^{'} C^{'}$ 的中线 $A D$ 叫做 $△ A B C$ 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．
① $△ A B C$ 与 $△ A B^{'} C^{'}$ 面积相同；
② $B C = 2 A D$ ；
③若 $A B = A C$ ，连接 $B B^{'}$ 和 $C C^{'}$ ，则 $∠ B^{'} B C + ∠ C C^{'} B^{'} = 180 °$ ；
④若 $A B = A C$ ， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则 $B^{'} C^{'} = 10$ ．

查看试题解析
19. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A ， C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．

查看试题解析
20. 如图，一次函数 $y = x + b$ 的图象过点 $A (1 ， 2)$ ，且与x轴相交于点B ．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是．

查看试题解析
21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， A D = 4$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点B旋转一定角度后得矩形 $A^{'} B C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} B$ 交 $C D$ 于点E，且 $C E = A^{'} E$ ，则 $C E$ 的长为．

查看试题解析
22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = B C = 6$ ． P为边 $A B$ 上一动点，作 $P D ⊥ B C$ 于点D， $P E ⊥ A C$ 于点E，则 $D E$ 的最小值为．

查看试题解析

三、作图题

23. 如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，用尺规作图法在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC．（不写作法，保留作图痕迹．）

查看试题解析

四、解答题

24. 如图， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O ， $A B = C D$ ， $∠ A B C = ∠ C D A$ ， $E B = E D$ ，连接 $O E ， B D$ ，求证； $O E$ 垂直平分 $B D$ ．

查看试题解析
25. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A B$ 上，点F在 $C D$ 上，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形；

(2)、若 $D E$ 为 $∠ A D C$ 的平分线，且 $A D = 3$ ， $E B = 2$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

查看试题解析
26. 在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 的中点，连接 $D E$ 、 $B F$ ．

(1)、求证： $D E ∥ B F$ ；

(2)、如图 $1$ ，当 $△ A B D$ 满足什么条件时，四边形 $D E B F$ 是菱形，并说明理由；

(3)、如图 $2$ ， $P$ 为 $B F$ 的中点， $M$ 是线段 $B D$ 上一动点，在（2）的条件下，若 $A D = 2$ ， $∠ D E B = 120 °$ ，求 $F M + P M$ 的最小值．

查看试题解析
27. 已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．

(1)、求证：AE⊥DF；

(2)、若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．

查看试题解析
28. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，延长 $C B$ 到点 $E$ ，使得 $B E = B C$ ．连接 $A E$ ．过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ ，交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $O F$ ．

(1)、求证：四边形 $A F B O$ 是矩形；

(2)、若 $∠ E = 30 °$ ， $B F = 1$ ，求 $O F$ 的长．

查看试题解析
29. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 16$ ， E、F是直线 $A C$ 上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中 $(0 \leq t \leq 10)$ ．

(1)、如图1，M、N分别是 $A B 、 C D$ 中点，当四边形 $E M F N$ 是矩形时，求t的值；

(2)、若G、H分别从点A、C沿折线 $A - B - C$ ， $C - D - A$ 运动，与 $E ， F$ 相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形 $E G F H$ 为菱形，求t的值；
②如图3，作 $A C$ 的垂直平分线交 $A D 、 B C$ 于点P、Q，当四边形 $P G Q H$ 的面积是矩形 $A B C D$ 面积的 $\frac{15}{32}$ 时，则t的值是 ▲ ．

查看试题解析

五、综合题

30. 如图

(1)、如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．

(2)、如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= $α$ ，其中 $α$ 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

查看试题解析
31. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $A B = 10 c m$ ．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒 $2 c m$ 的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．

(1)、当 $t = 2$ 时，求 $△ B P C$ 的面积；

(2)、若 $A P$ 平分 $∠ C A B$ ，求t的值；

(3)、深入探索：若点P运动到边 $A B$ ，且 $△ A C P$ 是等腰三角形，求t的值．

查看试题解析
32. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，点D是直线 $B C$ 上一动点，以 $A D$ 为边，在 $A D$ 下方作等边 $△ A D E$ ．

(1)、直接写出 $A B$ 的长， $A B =$ ；

(2)、当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长；

(3)、当 $A E ⊥ C E$ 时，求出 $C D$ 的值．

查看试题解析

六、实践探究题

33. 在平面直角坐标系中，已知点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，根据勾股定理，我们可以求得这两个这点间的距离 $P_{1} P_{2} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．当点 $P_{1} ， P_{2}$ 在坐标轴上或平行（垂直）于坐标轴的直线上时，两点间的距离可简化为 $P_{1} P_{2} = | x_{1} - x_{2} |$ ，或 $P_{1} P_{2} = | y_{1} - y_{2} |$ ．
请利用以上结论，回答下列问题：

(1)、已知 $A (4 ， 3)$ ， $B (- 2 ， - 5)$ ，则 $A ， B$ 两点间的距离为；

(2)、已知 $M ， N$ 在平行于 $x$ 轴的直线上，点 $M$ 的横坐标为5，点 $N$ 的横坐标为－2，则 $M ， N$ 点两之间的距离为；

(3)、已知一个三角形各顶点的坐标为 $D (- 3 ， 1)$ ， $E (- 2 ， - 1)$ ， $F (4 ， 2)$ ，请判定此三角形的形状，并说明理由．

查看试题解析
34.

(1)、问题提出
在平面内，已知线段 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则线段 $B C$ 的最小值为．

(2)、问题探究
如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 4$ ， $∠ D = 60 °$ ， P是边 $A D$ 的中点，Q是边 $C D$ 上一动点，将三角形 $P D Q$ 沿 $P Q$ 所在直线翻折，得到三角形 $P E Q$ ，连接 $B E$ ，求 $B E$ 的最小值．

(3)、问题解决
如图2，平行四边形 $A B C D$ 为某公园平面示意图，扇形 $B M N$ 为该公园的人口广场，已知 $A B = 150 m$ ， $B C = 130 m$ ， $A C = 140 m$ ， $B M = B N = 20 m$ ．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧 $M N$ 上找一点P ，沿 $A P$ ， $C P$ 修两条绿色通道，并在 $A P$ 上方和 $C P$ 右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域 $A P C D$ 面积的最小值．

查看试题解析
35. 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动．

小亮准备了矩形纸片 $A B C D$ ，其中 $E$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，点 $A$ 的对应点为 $G$ ．

(1)、观察发现：如图1，当点 $G$ 恰好在 $B C$ 边上时，小亮发现 $A B$ 与 $A D$ 存在一定的数量关系，其数量关系是．

(2)、探索猜想：如图2，当点 $G$ 在矩形 $A B C D$ 内部时，延长 $B G$ 交 $D C$ 边于点 $F$ ．试猜想线段 $B F ， A B$ 与 $D F$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展延伸：当点 $G$ 在矩形 $A B C D$ 内部时，若 $A D = \sqrt{3} A B$ ，直接写出线段 $D F$ 与 $F C$ 的数量关系．

查看试题解析

a	b	c
3	4	5
8	6	10
15	8	17
24	10	26
…	…	…
x	14	y