中考数学第一轮复习：三角形基础

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A、 $1 c m ， 2 c m ， 3 c m$ B、 $3 c m ， 8 c m ， 5 c m$ C、 $4 c m ， 5 c m ， 10 c m$ D、 $4 c m ， 5 c m ， 6 c m$

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2. 已知a ， b ， c是 $△ A B C$ 的三条边，化简 $| a + b - c | - | c - a - b |$ 的结果为（）

A、 $2 a + 2 b - 2 c$ B、 $2 a + 2 b$ C、 $2 c$ D、0

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3. 如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3， $∠ A B C = 70 °$ ， D为AC上一点，连接BD，若 $S_{△ B C D} ： S_{△ A B D} = 1 ： 3$ ，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、40° B、35° C、30° D、20°

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4. 已知 $△ A B C$ 的底边BC上的高8cm，当它的底边BC从16cm变化到5cm时， $△ A B C$ 的面积（）

A、从 $20 c m^{2}$ 变化到 $64 c m^{2}$ B、从 $64 c m^{2}$ 变化到 $20 c m^{2}$ C、从 $128 c m^{2}$ 变化到 $40 c m^{2}$ D、从 $40 c m^{2}$ 变化到 $128 c m^{2}$

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5. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A B = B D = 2 C D$ ， $E$ 是 $A B$ 中点．连接 $E D$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A D$ 于点 $H$ ．给出结论：① $F$ 是 $B D$ 中点；② $∠ B A F = ∠ B D E$ ；③ $B H ⊥ A D$ ；④ $B C ∥ D E$ ，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、垂线段最短 C、两点之间，线段最短 D、两直线平行，内错角相等

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7. 如图，△ABC≌△BDE，若AB=12，ED=5，则CD的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 如图，将两根钢条AA^/、BB^/的中点O连在一起，使AA^/、BB^/可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A^/B^/的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA^/B^/的理由是（　）

A、边边边 B、角边角 C、角角边 D、边角边

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9. 如图所示，∠E=∠F=90°，AE=AF，AB=AC.
有下列结论：
①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③CD=DN；④△ACN≌△ABM．
其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $A B$ 上，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A D$ 边上的点 $B^{'}$ 处，将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A E$ 上的点 $G$ 处．若 $D E = E F$ ， $C E = 2$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $6$

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11. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S_△_BEF=S_△_ABE ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点O是 $A B$ 的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与 $A C$ 、 $B C$ 分别交于点M、N（不与端点重合），连接 $M N$ ，设三角板与 $△ A B C$ 重叠部分的四边形 $O M C N$ 的面积为S，则下列说法正确的是（）

A、S变化， $M N$ 有最大值 B、S变化， $M N$ 有最小值 C、S不变， $M N$ 有最大值 D、S不变， $M N$ 有最小值

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二、填空题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中，BO平分 $∠ A B C$ ， $C O$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ B O C = 118 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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14. 如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD∠ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，DE的长为

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 8$ ．连接 $A C$ ，在 $A C$ 和 $A D$ 上分别截取 $A E ， A F$ ，使 $A E = A F$ ．分别以点E和点F为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧交于点G ．作射线 $A G$ 交 $C D$ 于点H ，则线段 $D H$ 的长是．

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16. 阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．如图，在 $△ A B C$ 中， $a = 7$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ，则 $B C$ 边上的高为．

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17. 图中x的值为．

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18. 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 边上，连接 $O F$ ．若 $∠ A D B = 38 °$ ， $∠ B O F = 30 °$ ，则 $∠ A O F =$ ．

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19. 如图，四边形 $A B C D ≌$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 60 °$ ， $∠ D^{'} = 105 °$ ，则 $∠ A^{'} =$ °．

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20. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $24$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 边上的点，且 $∠ E D F = 45 °$ ，如果 $A E = 8$ 时，则 $E F$ 的长为．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点P是y轴正半轴上的一个动点，点A在x轴的正半轴上， $O A = 6$ ，将点P绕点A顺时针旋转 $90 °$ 至点 $P^{'}$ ，点M是线段 $A P^{^{'}}$ 的中点，若点Q是x轴的正半轴上的一个动点 $(O Q > 6)$ ，且点N是 $A Q$ 的中点，则线段 $M N$ 长的最小值为．

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22. 如图，等边 $△ A B C$ 中，点 $Q$ 是边 $A C$ 的中点， $∠ A C B$ 的平分线交边 $A B$ 于点 $D$ ， $A D = 1$ ，点 $P$ 是线段 $C D$ 上的任意一点，连接 $A P$ 、 $P Q$ ，则 $A P + P Q$ 的最小值为．

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23. 在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B ⊥ B D$ ，点 $M$ 是 $▱ A B C D$ 边上的点，且 $D M = 2$ ，则 $△ A D M$ 的面积为．

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24. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上与 $A$ ， $C$ 不重合的一个动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，连接 $D E$ ， $F G$ ．则下列结论：① $D E = F G$ ；② $∠ B F G = ∠ A D E$ ；③ $D E ⊥ F G$ ；④ $F G$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．其中正确的是．（填写序号）

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三、计算题

25. 在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；

第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．

(1)、直接写出线段AC与线段DE的位置关系；

(2)、在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．

②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．

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26. R△ABC中，∠BAC=90°，

(1)、如图1，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABFG、ACPE、BCDE，其面积分别记为S₁ ， S₂ ，S₃
①若AB=5，AC=12，则S₃= ▲ ；

②如图2，将正方形BCDE沿C折，点D、E的对应点分别记为M、M，若点从M、N分别在直线FG和PH上，且点M是GO中点时，求S₁：S₂：S₃；

③如图3，无论R△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗? 请说明理由；

(2)、如图4，分别以AB， AC， BC为边向外作正三角形ABD， ACF， BCE，再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值.

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四、作图题

27. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点．

(1)、在图①中，画出一条以格点为端点，长度为 $\sqrt{8}$ 的线段 $A B$ ．

(2)、在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ 的三角形．

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五、解答题

28. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且 $E F = B E$ ， EF与CD交于点G．

(1)、求证： $D F ∥ A C$ ；

(2)、连接DE、CF，如果 $B F = 2 A B$ ，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．

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29. 已知 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ N M$ ， $B E ⊥ N M$ ，垂足分别为点D ， E ．

(1)、如图①，求证： $A D = B E + D E$

(2)、如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD ， BE ， DE之间的数量关系，并说明理由．

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30. 在长方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $C D$ 上的一点，将 $Δ A E D$ 沿 $A E$ 所在的直线折叠，使点 $D$ 落在点 $F$ 处．

(1)、如图1，若点 $F$ 落在对角线 $A C$ 上，且 $∠ B A C = 54 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

(2)、如图2，若点 $F$ 落在边 $B C$ 上，且 $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，求 $C E$ 的长．

(3)、如图3，若点 $E$ 是 $C D$ 的中点， $A F$ 的沿长线交 $B C$ 于点 $G$ ，且 $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，求 $C G$ 的长．

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六、实践探究题

31. 如图

(1)、感知：如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 一点，F是AD延长线上一点，且 $D F = B E$ ，求证： $C E = C F$ ；

(2)、拓展：在图①中，若G在AD，且 $∠ G C E = 4 5^{°}$ ，则 $G E = B E + G D$ 成立吗？为什么？

(3)、运用：如图②在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C (B C > A D)$ ， $∠ A = ∠ B = 9 0^{°}$ ， $A B = B C = 16$ ， E是AB上一点，且 $∠ D C E = 4 5^{°}$ ， $B E = 4$ ，求DE的长．

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32. 如图

(1)、问题背景：如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 60 °$ ，探究图中线段 $B E$ ， $E F$ ， $F D$ 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点 $G$ ，使 $D G = B E$ ，连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，他的结论应是， ▲ ，请说明理由；

(2)、实际应用：如图 $2$ ，在新修的小区中，有块四边形绿化 $A B C D$ ，四周修有步行小径，且 $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，在小径 $B C$ ， $C D$ 上各修一凉亭 $E$ ， $F$ ，在凉亭 $E$ 与 $F$ 之间有一池塘，不能直接到达．经测量得到 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ， $B E = 10$ 米， $D F = 15$ 米，试求两凉亭之间的距离 $E F$ ．

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33. 如图

【操作】

如图1， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是其内部的一点，连接 $C D$ ．将 $C D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90°得到 $C E$ ，连接 $D E$ 、 $B E$ ，作直线 $A D$ 交 $B E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ B E C$ ；

(2)、设 $A F$ 与 $B C$ 交于点 $H$ ，求 $∠ A F E$ 的度数；

(3)、【探究】
如图2，连接图1中的 $A E$ ，分别取 $A B$ 、 $D E$ 、 $A E$ 的中点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ，作 $△ M N P$ ．若 $B E = 8$ ，求 $△ M N P$ 的周长．

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七、综合题

34. 在 $▱ A B C D$ 中，E，F为 $B C$ 上的两点，且 $B E = C F$ ， $A F = D E$ ．

(1)、求证： $Δ A B F ≌ Δ D C E$ ；

(2)、求证： $▱ A B C D$ 是矩形；

(3)、连接 $A E$ ，若 $A F$ 是 $∠ E A D$ 的平分线， $B E = 2$ ， $A F = \sqrt{30}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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35. 已知，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 10$ ，在 $A B$ 上取一点E，使 $A E = 3$ ，点F是 $B C$ 边上的一个动点，以 $E F$ 为一边作菱形 $E F G H$ ，使点H落在 $A D$ 边上，点G落在矩形 $A B C D$ 内或其边上，若 $B F = x$ ， $△ G F C$ 的面积为S．

(1)、如图1，当四边形 $E F G H$ 是正方形时，求x的值；

(2)、如图2，当四边形 $E F G H$ 是菱形时，
①求证： $∠ A H E = ∠ C F G$ ；

②求出S与x的函数关系式并直接写出x的取值范围．

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36. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = B C = A C = 24 c m$ ，现有M、N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为 $2 c m / s$ ，点N的速度为 $4 c m / s$ ．当点N第一次到达点B时，M、N两点同时停止运动．

(1)、点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)、点M、N运动几秒后，可得到等边 $△ A M N$ ？（提示：有一个角是 $60 °$ 的等腰三角形是等边三角形）

(3)、当点M、N在 $B C$ 边上运动时，是否存在以 $M N$ 为底边的等腰 $△ A M N$ ？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由．

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