中考数学第一轮复习：相交线与平行线

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列命题正确的个数是（）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③内错角相等；④两条直线位置关系不是相交就是平行．

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. 下列说法正确的是（）

A、两点之间，直线最短 B、不相交的两条直线叫做平行线 C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D、直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

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3. 如图，直线a∥b ，若∠1=24°，∠2=70°，则∠A等于（　）

A、46° B、45° C、40° D、30°

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4. 如图， $A B ∥ C D ， B C ∥ D E$ ， $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ E D F$ 的度数是（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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5. 如图， $A B ∥ C D$ ，直线 $M N$ 交 $A B$ 于点E ，过点E作 $E F ⊥ M N$ ；交 $C D$ 于点F ，若 $∠ 1 = 40 °$ ．则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $60 °$

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6. 下列各图中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是同位角的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列说法正确的是（）

A、相等的角是对顶角 B、两个锐角的和是锐角 C、邻补角互补 D、同旁内角互补

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8. 下列命题中真命题的个数是（）
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
②两直线平行，同旁内角相等
③4的平方根是 $\pm 2$
④ $- 8$ 的立方根是 $- 2$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，已知BF，CD相交于点O， $∠ D = 40 °$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $∠ C = 40 °$ 时， $A B / / C D$ B、当 $∠ B = 40 °$ 时， $A C / / D E$ C、当 $∠ E = 120 °$ 时， $C D / / E F$ D、当 $∠ B O C = 140 °$ 时， $B F / / D E$

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10. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且 $∠ 1 = 122 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $61 °$ B、 $58 °$ C、 $48 °$ D、 $41 °$

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二、填空题

11. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝ $\frac{1}{2}$ ∠AOC，则∠BOC＝．

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12. 如图，要把池中的水引到 $D$ 处，可过 $D$ 点作 $D C ⊥ A B$ 于 $C$ ，然后沿 $D C$ 开渠，可使所开水渠长度最短，如此设计的数学原理是．

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13. 如图，给出下列结论：① $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是同旁内角；② $∠ 1$ 与 $∠ 3$ 是同位角；③ $∠ 1$ 与 $∠ 4$ 是内错角；④ $∠ 1$ 与 $∠ 5$ 是同位角；⑤ $∠ 2$ 与 $∠ 4$ 是对顶角．其中说法正确的是．（填序号）

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14. 如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的 $1 \frac{9}{11}$ 倍，则∠2的度数是度．

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15. 如图，直线l₁∥l₂ ， ∠BAE＝125°，∠ABF＝85°，则∠1＋∠2= ．

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三、解答题

16. 如图，点 $B$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 在同一条直线上， $∠ A C B = ∠ D E F$ ， $A C = D E$ ， $B E = C F$ ．求证： $A B ∥ D F$ ．

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17. 如图，点E、F分别是 $A B 、 C D$ 上的点，连接 $B D 、 A D 、 E C 、 B F$ ， $A D$ 分别交 $C E 、 B F$ 于点G、H，若 $∠ D H F = ∠ A G E$ ， $∠ A B F = ∠ C$ ，求证： $A B ∥ C D$ .

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18. 如图，D是 $△ A B C$ 的边AB上一点，DF交AC于点E ， $D E = F E$ ， $F C ∥ A B$ ．试说明 $A E = C E$ ．

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19. 如图， $A D$ 平分 $∠ B A C ， ∠ C A D = ∠ C D A$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C D$

(2)、当 $A B ⊥ B D$ 且 $∠ C = 60 °$ 时，求 $∠ A D B$ 的度数．

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20. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 3$ ， $C D ∥ E F$ ，求证 $A B ∥ E F$ ．

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四、作图题

21. 如图， $∠ A O B$ ，点 $C$ 在边 $O B$ 上．

(1)、过点 $C$ 作直线 $C D ⊥ O B$ ，交 $O A$ 于点 $D$ ；

(2)、过点 $C$ 作直线 $C M ∥ O A$ ，过点 $D$ 作直线 $D N ∥ O B$ ，直线 $C M$ ， $D N$ 交于点 $E$ ．

(3)、如果 $∠ A O B = 50 °$ ，那么 $∠ C E D =$

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五、综合题

22. 如图， $B E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，在 $A B$ 上取点 $D$ ，使 $D B = D E$ .

(1)、求证： $D E // B C$ .

(2)、若 $∠ A = 65 °$ ， $∠ A E D = 45 °$ ，求 $∠ E B C$ 的度数.

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23. 问题情境：如图1， $A B ∥ C D$ ， $∠ P A B = 130 °$ ， $∠ P C D = 120 °$ ，求 $∠ A P C$ 度数．
小明的思路是：过 $P$ 作 $P E ∥ A B$ ，通过平行线性质来求 $∠ A P C$ ．

(1)、按小明的思路，易求得 $∠ A P C$ 的度数为度；（直接写出答案）

(2)、问题迁移：如图2， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 在射线 $O M$ 上运动，记 $∠ P A B = α$ ， $∠ P C D = β$ ，当点 $P$ 在 $B$ 、 $D$ 两点之间运动时，问 $∠ A P C$ 与 $α$ 、 $β$ 之间有何数量关系？请说明理由；

(3)、在（2）的条件下，如果点 $P$ 在 $B$ 、 $D$ 两点外侧运动时（点 $P$ 与点 $O$ 、 $B$ 、 $D$ 三点不重合），请直接写出 $∠ A P C$ 与 $α$ 、 $β$ 之间的数量关系．

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24. 已知 $∠ X O Y = 2 α (0 ° < α < 45 °)$ ，点A在射线 $O X$ 上，点P在 $∠ X O Y$ 外部， $P A ∥ O Y$ ， $∠ P = \frac{1}{2} ∠ X O Y$ ，它另一边交射线 $O X$ 于点M ，交射线 $O Y$ 于点B ，点C在线段 $B A$ 的延长线上．

(1)、如图，若 $∠ P A C = 40 °$ ， $∠ P B C = 20 °$ ，则 $α =$ °；

(2)、若 $A P$ 平分 $∠ O A C$ ，求证： $B P$ 平分 $∠ O B C$ ；

(3)、当 $P M ⊥ O A$ 时，请直接写出 $α$ 的度数．

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 15 c m$ ， $B C = 9 c m$ ，过点 $A$ 作射线 $A D ∥ B C$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，以 $3 c m / s$ 的速度沿 $B A$ 向终点 $A$ 运动：点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以 $a c m / s$ 的速度沿射线 $A D$ 运动．点 $P$ 、 $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $A$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．连结 $P C$ 、 $P Q$ ，设运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、线段 $A P =$ $c m$ （用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、求 $A C$ 的长．

(3)、当 $△ A P Q$ 与 $△ B C P$ 全等时，
①若点 $P$ 、 $Q$ 的移动速度相同，求 $t$ 的值．
②若点 $P$ 、 $Q$ 的移动速度不同，求 $a$ 的值．

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六、实践探究题

26. 【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为 $∠ 1$ ，反射光线与水平镜面夹角为 $∠ 2$ ，则 $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、【初步应用】如图2，有两块平面镜 $A B$ ， $B C_{1}$ ，入射光线 $D O_{1}$ 经过两次反射，得到反射光线 $O_{2} E$ ，若 $∠ B = 90 °$ ，证明： $D O_{1} ∥ O_{2} E$ ；

(2)、【拓展探究】如图3，有三块平面镜 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ，入射光线 $E O_{1}$ 经过三次反射，得到反射光线 $O_{3} F$ ，已知 $∠ 1 = 36 °$ ， $∠ B = 120 °$ ，若要使 $E O_{1} ∥ O_{3} F$ ，则 $∠ C$ 为多少度？

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27. 【教材再现】
在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图1，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线m和直线n分别与直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则 $\frac{B E}{A B} = \frac{D E}{F D}$ ；
【探究发现】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 3$ ， $∠ C = 90 °$ ，点D在边 $B C$ 上（不与点B，点C重合），连接 $A D$ ，点E在边 $A B$ 上， $∠ E D B = ∠ A D C$ .

(1)、求证： $\frac{B E}{A B} = \frac{D E}{A D}$ ；

(2)、当 $\frac{D E}{A D} = \frac{1}{2}$ 时，直接写出 $A D$ 的长；

(3)、点H在射线AC上，连接EH交线段 $A D$ 于点G，当 $C H = 1$ ，且 $∠ A E H = ∠ B E D$ 时，直接写出 $\frac{B E}{A B}$ 的值.

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28. 类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
已知△ABC ．

(1)、观察发现
如图①，若点D是 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的角平分线的交点，过点D作 $E F ∥ B C$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于E ， F ．填空： $E F$ 与 $B E 、 C F$ 的数量关系是．请说明理由

(2)、猜想论证
如图②，若点D是外角 $∠ C B E$ 和 $∠ B C F$ 的角平分线的交点，其他条件不变，填： $E F$ 与 $B E 、 C F$ 的数量关系是．请说明理由

(3)、类比探究
如图③，若点D是 $∠ A B C$ 和外角 $∠ A C G$ 的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．

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