中考数学第一轮复习：反比例函数

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列式子中，y是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = \frac{x}{2}$ C、 $y = \frac{x}{x + 1}$ D、 $x y = 1$

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2. 正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为 $1 0^{5} m^{3}$ ，设土石方日平均运送量为V（单位： $m^{3}$ /天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）

A、反比例函数关系 B、正比例函数关系 C、一次函数关系 D、二次函数关系

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3. 函数 $y = k x - k$ 与 $y = \frac{k}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，正比例函数 $y = k_{1} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于 $A (3 ， a)$ 、 $B$ 两点，当 $k_{1} x \leq \frac{k_{2}}{x}$ 时， $x$ 的取值范围是(　　)

A、 $x \leq - 3$ 或 $0 < x \leq 3$ B、 $- 3 \leq x < 0$ 或 $0 < x \leq 3$ C、 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 3$ D、 $- 3 \leq x < 0$ 或 $x \geq 3$

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5. 如图，A、B是函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图像上关于原点对称的任意两点， $B C / / x$ 轴， $A C / / y$ 轴， $△ A B C$ 的面积记为S，则（）

A、 $S = 2$ B、 $S = 4$ C、 $2 < S < 4$ D、 $S > 4$

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6. 若点 $A (- 1 ， y_{1})$ 、 $B (2 ， y_{2})$ 、 $C (π ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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7. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　　）

A、3 B、-6 C、6 D、-3

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8. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 $p (P a)$ 是气球体积 $V (m^{3})$ 的反比例函数，其图像如图所示.当气球内的气压大于 $40000 P a$ 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（）

A、不小于 $0.06 m^{3}$ B、不大于 $0.06 m^{3}$ C、不小于 $0.6 m^{3}$ D、不大于 $0.6 m^{3}$

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9. 如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交 $O B$ 于点 $F$ ．设点A的横坐标为 $m$ ．若 $S_{△ O A F} + S_{四边形 E F B C} = 4$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的边 $O A$ 在x轴正半轴上，其中 $∠ O A B = 90 °$ ， $A O = A B$ ，点C为斜边 $O B$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象过点C且交线段 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ， $O D$ ，若 $S_{△ O C D} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ O A D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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11. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{4} A B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点D及矩形 $O A B C$ 的对称中心M，连接 $O D ， O M ， D M$ ．若 $△ O D M$ 的面积为3，则k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 $R_{2}$ ， $R_{2}$ 与踏板人的质量m之间的函数关系式为 $R_{2} = - 2 m + 240 (0 \leq m \leq 120)$ ，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻 $R_{1}$ 的阻值为60欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0~0.2安（温馨提示：导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式 $I = \frac{U}{R}$ ），则下面结论错误的为（）

A、用含I的代数式表示 $m$ 为 $m = 150 - \frac{6}{I}$ B、电子体重秤可称的最大质量为120千克 C、当 $m = 115$ 时，若电源电压U为12（伏），则定值电阻 $R_{1}$ 最小为70（欧） D、当 $m = 115$ 时，若定值电阻 $R_{1}$ 为40（欧），则电源电压U最大为10（伏）

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二、填空题

13. 在函数 $y = \frac{6}{x - 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是.

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14. 看一本120页的书，平均每天看的页数 $x$ 和看完全书所需的天数 $y$ 之间的关系式为 $y =$ ， $x$ 和 $y$ 成比例.

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15. 已知反比例函数 $y = \frac{14}{x}$ 的图象经过点 $(a ， 7)$ ，则a的值为．

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16. 如图是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象，则 $k$ 的值可能是.（写出一个可能的值即可）．

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17. 如图，已知 $△ O A B$ 的顶点 $A 、 B$ 分别在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 和 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $A B ∥ x$ 轴．若 $△ O A B$ 的面积为3，则 $k =$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，将线段 $A O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $A B$ ，连接 $O B$ ，点 $B$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，则 $k$ 的值是．

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19. 正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象相交于A ， B两点，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为点C ，连接 $B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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20. 如图，在矩形 $O A B C$ 中， $O A = 3 ， O C = 2$ ， F是 $A B$ 上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 $y = \begin{array}{l} \frac{k}{x} \end{array} (x > 0)$ 的图像与 $B C$ 边交于点E，若 $S_{△ A E F} = \frac{1}{6} k$ 时，则k＝．

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21. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图像上，顶点 $B 、 C$ 在第一象限，对角线 $A C / / x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $D$ .若矩形 $O A B C$ 的面积是 $6 ， c o s ∠ O A C = \frac{2}{3}$ ，则 $k =$ .

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22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， k$ 是常数)在第一象限部分的图象与矩形OABC的两边AB和BC分别交于D，F两点，将 $△ O A D$ 沿OD翻折得到 $△ O E D ， D E$ 的延长线恰好经过点 $C$ .若 $∠ E O C = 4 5^{°}$ ，则 $\frac{C F}{B F}$ 的值是.

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三、计算题

23. 如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ $3$ ， $- 1$ ），点D的坐标为（ $- 1$ ， $- 1$ ），且AB∥y轴，AD∥x轴．点P是抛物线 $y = x^{2} + 2 x$ 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E ， PF⊥y轴于点 F ．

(1)、直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；

(3)、以点E为顶点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点F ，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．

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24. 如图，抛物线L： $y = - \frac{1}{2} (x - t) (x - t + 4)$ （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B ， A ，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 于点P ，且OA·MP=12.

(1)、求k值；

(2)、当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)、把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G ，用t表示图象G最高点的坐标；

(4)、设L与双曲线有个交点的横坐标为x₀ ，且满足4≤x₀≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.

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四、解答题

25. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (1 ， 6)$ 、 $B (3 ， n)$ 两点，与 $x$ 轴交于 $C$ 点．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、若点 $M$ 在 $x$ 轴上，且 $△ A M C$ 的面积为 $6$ ，求点 $M$ 的坐标．

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26. 如图，直线 $y = 2 x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 相交于点 $A$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，以 $A B$ 为边在右侧作正方形 $A B C D$ ， $C D$ 与双曲线相交于点 $E$ ，连结 $A E$ 、 $O E$ ．

(1)、当 $B C = 4$ 时，求点 $E$ 的坐标；

(2)、当 $S_{△ A O E} = 24$ 时，求 $k$ 的值；

(3)、是否存在实数 $k$ ，满足 $A E ⊥ O A$ ，若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由．

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27. 实验数据显示，一般情况下，成人喝 $0.25 k g$ 低度白酒后， $1.5$ 小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例； $1.5$ 小时后（包括 $1.5$ 小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、写出一般情况下，成人喝 $0.25 k g$ 低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围．

(2)、按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完 $0.25 k g$ 低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

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五、实践探究题

28. 类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“ $y = \frac{6}{| x |}$ 的函数图象与性质”，进行了如下活动.

(1)、【小组合作    讨论交流】
同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置.”
同学乙回应道：“是的，因为自变量x的取值范围是，所以图像与y轴不相交.”
同学丙补充说：“又因为函数值y大于0，所以图像一定在第象限.”
……

(2)、【独立操作    探究性质】
在平面直角坐标系中，画出 $y = \frac{6}{| x |}$ 的图像.
结合图像，描述函数图象与性质：
①函数 $y = \frac{6}{| x |}$ 的图像是两条曲线；
②该函数图象关于      ▲      对称；
③图像的增减性是      ▲      ；
④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转 $90 °$ 后，与第一象限的曲线重合.”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由.

(3)、【拓展探究    综合应用】
直接写出不等式 $\frac{6}{| x |} - x > 5$ 的解集是.

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29. 阅读理解题：
阅读材料：

如图1，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ A E F$ 是等腰直角三角形，记 $∠ B A E$ 为 $α$ 、 $∠ F A D$ 为 $β$ ，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

证明：设 $B E = k$ ， ∵ $t a n α = \frac{1}{2}$ ， ∴ $A B = 2 k$ ，

易证 $△ A E B ≌ △ E F C (A A S)$

∴ $E C = 2 k ， C F = k$ ，

∴ $F D = k ， A D = 3 k$

∴ $t a n β = \frac{D F}{A D} = \frac{k}{3 k} = \frac{1}{3}$ ，

若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

同理：若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{2}$ ．

根据上述材料，完成下列问题：

如图2，直线 $y = 3 x - 9$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．将直线 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 后的直线与 $y$ 轴交于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，过点 $A$ 作 $A N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ，已知 $O A = 5$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出 $t a n ∠ B A M 、 t a n ∠ N A E$ 的值；

(3)、求直线 $A E$ 的解析式．

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30. 【定义】在平面直角坐标系xOy中，对于点 $P (a ， b)$ 和点 $Q (a ， b^{'})$ ，给出如下定义：若 $b^{'} = {\begin{array}{l} b (a \geq 1) \\ - b (a < 1) \end{array}$ ，则称点Q为点P的限变点，例如：点 $(2 ， 4)$ 的限变点的坐标是 $(2 ， 4)$ ，点 $(- 2 ， 5)$ 的限变点的坐标是 $(- 2 ， - 5)$ ．
【应用】

(1)、①点 $(\sqrt{2} ， 1)$ 的限变点的坐标是；
②以下三个选项中的点是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上某一个点的限变点的是（）

A． $(- 1 ， - 2)$ B． $(- 1 ， 2)$ C． $(1 ， - 2)$

(2)、若点P在一次函数 $y = - x + 3 (- 2 \leq x \leq 6)$ 的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象直接写出点Q的纵坐标 $b^{'}$ 的取值范围为．

(3)、【拓展】
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数 $y = {(x - t)}^{2} + t$ 的图象上，其限变点Q的纵坐标 $b^{'}$ 的取值范围是 $b^{'} \geq m$ 或 $b^{'} < n$ ，其中 $m > n$ ，令 $s = m - n$ ，求s关于t的函数解析式．

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六、综合题

31. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，点C是点A关于y轴的对称点， $△ O A C$ 的面积是8．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、当点A的横坐标为2时，过点C的直线 $y = 2 x + b$ 与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．

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32. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是边长为 $2$ 的正方形．点 $A$ ， $C$ 在坐标轴上．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2， $S_{△ O B D} = 3$ ．求直线 $B D$ 的函数表达式．

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33. 一次函数 $y = - x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积；

(3)、过动点 $T (t ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $l$ 与一次函数 $y = - x + m$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象分别交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $M$ 在 $N$ 的上方时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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34. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了

y =

\frac{9}{x}

(x > 0)

和

y = - x + 10

的图像，两个函数图象交于

A (1 ， 9) ， B (9 ， 1)

两点，在线段

A B

上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现

P Q

的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究

P Q

的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：

(1)、设点P的横坐标为x，

P Q

的长度为y，则y与x之间的函数关系式为

(1 \leq x \leq 9)

；

(2)、为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：

①列表：

x	1	$\frac{3}{2}$	2	3	4	$\frac{9}{2}$	6	9
y	0	$\frac{5}{2}$	m	4	$\frac{15}{4}$	$\frac{7}{2}$	n	0

表中m＝ ▲ ， n＝ ▲ ；

②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；

③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当 $x =$ ▲ 时，y的最大值为 ▲ ．

(3)、①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系

W = - \frac{18}{n} + 24

，求m取最大值时矩形的对角线长．

②如图3，在平面直角坐标系中，直线 $y = -$ $\frac{2}{3}$ $x - 2$ 与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 $y =$ $\frac{6}{x}$ $(x > 0)$ 上的任意一点，过点M作 $M C ⊥ x$ 轴于点C， $M D ⊥ y$ 轴于点D．求四边形 $A B C D$ 面积的最小值．

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35. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 $p$ $（ K P a ）$ 是气体体积 $V$ （ $m^{3}$ ）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)、当气球内的气压超过 $150 K P a$ 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ， $π$ 取3）；

(2)、请你利用 $p$ 与 $V$ 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．

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36. 如图1，在平面直角坐标系中，点 $A (- 2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 2)$ ，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象在第一象限交于点 $C (a ， 4)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式

(2)、如图2，点 $E (4 ， m)$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上一点，连接 $C E$ ， $A E$ 。试问在 $x$ 轴上是否存在一点 $D$ ，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)、在（2）的条件下，坐标原点O关于点 $D$ 的对称点为 $G$ ，且点 $G$ 在 $x$ 轴的正半轴上，若点 $M$ 是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形 $M G N F$ ，当顶点 $F$ 恰好落在直线 $A B$ 上时，求点M的坐标。

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