中考数学第一轮复习：一次函数

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列说法中，正确的有（）
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③速度一定，路程s是时间t的一次函数；
④圆的面积是圆的半径r的正比例函数.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列函数中，一次函数是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = k x + b$ C、 $y = \frac{1}{x} + 1$ D、 $y = x^{2} - 2 x$

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3. 下列各点中，在直线 $y = 2 x + 1$ 的是（）

A、 $(0 ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- 3 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 0)$

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4. 已知A（- $\frac{1}{3}$ ， y₁）、B（- $\frac{1}{2}$ ， y₂）、C（1，y₃）是一次函数y＝-3x＋b的图象上三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₃＜y₂＜y₁

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5. 函数y＝－3x＋1图象上有两点A（1，y₁），B（3，y₂），则y₁与y₂的大小关系是（）

A、y₁＞y₂ B、y₁＜y₂ C、y₁＝y₂ D、无法确定

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6. 一次函数 $y = - 2 (x - 1)$ 在 $y$ 轴上的截距是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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7. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象过点 $(- 1 ， 11)$ ， $(1 ， - 1)$ ．下列结论不正确的是（）

A、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 B、函数图象经过第一、二、四象限 C、 $x = 1$ 是方程 $k x + b + 1 = 0$ 的解 D、函数图象与 $x$ 轴交于点 $(- \frac{5}{6} ， 0)$

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8. 如图，是李林周末骑自行车离家出游的图象，图中t表示时间，s表示李林离家的距离．则下列说法错误的是（）

A、 $60 m i n$ 时李林离家 $8 k m$ B、前 $20 m i n$ 骑行速度为 $12 k m / h$ C、 $20 m i n - 30 m i n$ 骑行的距离为 $4 k m$ D、 $45 m i n$ 时李林离家 $6 k m$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $a$ 的解析式为 $y = \sqrt{3} x + 1$ ，直线 $b$ 的解析式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，直线 $a$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，以 $O A$ 为边作第一个等边三角形 $Δ O A B$ ，交直线 $b$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $a$ 于点 $A_{1}$ ，以 $A_{1} B$ 为边作第二个等边三角形△ $A_{1} B B_{1}$ ，交直线 $b$ 于点 $B_{1}$ ， $\dots$ ，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（）

A、 $2^{2019}$ B、 $2^{2000}$ C、4038 D、4040

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二、填空题

10. 设函数满足以下两个条件：①图象过点 $(1 ， - 1)$ ；②当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.则满足条件的函数表达式可以是(写出一个即可).

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11. 某市出租车的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为．

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12. 一次函数 $y = - 2 x - 7$ 的图象经过点 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{1} - 1 ， y_{2})$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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13. 若直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 经过点 $A (- 2 ， 3)$ ，且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是．

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14. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是一次函数 $y = (k^{2} + 1) x + 1$ 图象上的两点，当 $x_{1} > x_{2}$ 时， $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“＞”“＝”或“＜”）

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15. 将直线 $y = 2 x + 1$ 平移，使平移后的直线经过点 $(0 ， - 3)$ ，所得直线的表达式是．

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16. 如图， $A (1 ， 3)$ ， $B (3 ， 1)$ 是反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上的两点，点P是反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象位于线段 $A B$ 下方的一动点，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴于M，交线段 $A B$ 于Q．设点M横坐标为x，则 $△ O P Q$ 面积的最大值为，此时 $x =$ ．

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17. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A (2 ， 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B (0 ， 3)$ ，则关于 $x$ 的方程 $k x + b = 0$ 的解是．

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18. 如图，直线 $y = 2 x$ 与 $y = k x + b$ 相交于点 $P (1 ， 2)$ ，则关于 $x$ 的方程 $k x + b = 2 x$ 的解是．

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19. 如图，已知直线 $y_{1}$ ＝x＋m与 $y_{2}$ ＝kx－1相交于点P（－1，2），则关于x的不等式x＋m＜kx－1的解集为．

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三、作图题

20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 $y_{1} = 2 x$ 的图像经过点 $A (1 ， m)$ ，一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的图像经过点 $A$ ， $B (- 2 ， 1)$ ．

(1)、求一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的解析式；

(2)、在图中画出一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的图像；

(3)、根据函数图象，直接写出当 $y_{1} \geq y_{2}$ 时，自变量 $x$ 的取值范围．

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四、解答题

21. 在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图象经过点 $(1 ， 2)$ ，把此正比例函数的图象向上平移5个单位，得到直线 $l ： y = k x + b (k \neq 0)$ ；直线l与x轴交于点A ．

(1)、求直线l的函数解析式；

(2)、求A点的坐标．

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22. 甲、乙两家水果店平时以同样的价格出售品质相同的广安华蓥樱桃．假期间，甲、乙两家水果店都让利酬宾，甲店的樱桃的原价为30元/kg，现打九折；乙店的樱桃的价格为30元/kg，现一次购买2kg以上，超过2kg的部分打八折．顾客到甲、乙两家水果店购买樱桃的付款金额 $y_{甲}$ ， $y_{乙}$ （元）与购买樱桃的质量 $x (k g)$ 之间的关系如图所示．

(1)、求 $y_{甲}$ ， $y_{乙}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、两图象交于点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标，并说明其实际意义；

(3)、请根据函数图象，分情况说明选择去哪家水果店购买樱桃更合算．

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23. 如图，一次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ 的图象与x轴相交于点 $A (5 \sqrt{3} ， 0)$ ，与y轴相交于点B

(1)、求点B的坐标及 $∠ A B O$ 的度数；

(2)、如果点C的坐标为 $(0 ， 3)$ ，四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．

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24. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 1$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = m x + 3$ 相交于点 $P (1 ， b)$ ．

(1)、求m、b的值；

(2)、请直接写出关于x、y的方程组 ${\begin{array}{l} y = x + 1 \\ y = m x + 3 \end{array}$ 的解；

(3)、请直接写出关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ m x + 3 > 0 \end{array}$ 的解集．

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25. 攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元

/

千克，售价不低于15元

/

千克，且不超过40元

/

每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量

y

（千克）与该天的售价

x

（元

/

千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．

销售量 $y$ （千克）	$\dots$	32.5	35	35.5	38	$\dots$
售价 $x$ （元 $/$ 千克）	$\dots$	27.5	25	24.5	22	$\dots$

(1)、求芒果一天的销售量

y

与该天售价

x

之间的一次函数关系式，写出

x

的取值范围．

(2)、设某天销售这种芒果获利

m

元，写出

m

与售价

x

之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？

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26. 某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多10元，用1800元购进A种商品和用800元购进B种商品的件数相同．商店将A种商品每件的售价定为28元，B种商品每件的售价定为13元．

(1)、A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

(2)、商店计划用不超过660元的资金购进A，B两种商品共60件，其中B种商品的数量不超过A种商品数量的3倍，该商品有几种进货方案？

(3)、“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠 $m (2 \leq m \leq 8)$ 元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件商品获总利润最大，应如何进货？

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27. 如图，直线 $y = a x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $O B ＝ 3 O A$ ，以线段 $A B$ 为腰在第二象限作等腰 $R t △ A B C$ ， $∠ B A C ＝ 90 °$ ， $A B ＝ A C$ ，直线 $B C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求 $a$ 的值．

(2)、求直线 $B C$ 的函数解析式．

(3)、若点 $E$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $△ A B E$ 的面积为 $3$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，点 $Q$ 在 $y$ 轴上，是否存在以点 $A$ ， $E$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的平行四边形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．

(1)、根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

(2)、问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？

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五、综合题

29. 已知一次函数 $y = (2 m - 1) x + m + 1$ ．

(1)、若该函数是正比例函数，求这个一次函数的解析式；

(2)、若该函数的图象经过一、二、四象限，且 $m$ 为整数，求这个一次函数的解析式．

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30. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x < 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = m x$ （ $m \neq 0$ ）的值小于一次函数 $y = k x + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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31. 如图1，直线l与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1 ， 3)$ ， $B (- 3 ， a)$ 两点．

(1)、求反比例函数和直线l的解析式；

(2)、若直线l在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上方，请直接写出x的取值范围；

(3)、点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标；

(4)、如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出 $∠ E A D$ 的平分线 $A P$ （不写作法，保留作图痕迹），过点E作 $E F ⊥ A P$ 于F，连结 $D F$ ，求 $△ A D F$ 的面积．

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32. 我国人民万众一心，共同抗疫．某蔬菜基地要把青瓜、包菜送往疫情严重的某地，已知装青瓜的A货车比装包菜的B货车每辆的运费少 $400$ 元， $50$ 辆A货车与 $30$ 辆B货车的运费相同．

(1)、求每辆A货车、B货车的运费；

(2)、该基地所租车辆为10辆，已知每辆A货车可载3吨青瓜，B货车可载2吨包菜，计划运送的青瓜数量不多于包菜数量的2倍，如何租车使得费用最少？

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33. “厚德楼”、“博学楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易大传》：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物，“博学”源自《论语·雍也》：君子博学于文，约之以礼，博学乃华夏古今治学之基础，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”．把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”．

(1)、一次函数 $y = 2 x - 1$ 是一个“厚德博学函数”，分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”；

(2)、已知二次函数 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 图象可以由二次函数 $y = - x^{2}$ 平移得到，二次函数 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博学点” $P (3 ， m)$ ，求该二次函数的解析式；

(3)、已知二次函数 $y = 2 {(x - c)}^{2} + d$ （ $c$ ， $d$ 为常数， $c \neq 0$ ）图象的顶点为 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，经过点 $M$ ， $N$ 的直线 $l$ 上存在无数个“厚德点”，当 $m - 1 \leq x \leq m$ ，函数 $y = 2 {(x - c)}^{2} + d$ 有最小值 $\frac{15}{2}$ ，求 $m$ 的值．

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34. 如图，函数 $y = - 2 x + 3$ 与 $y = - \frac{1}{2} x + m$ 的图象交于点 $P (n ， - 2)$ ．

(1)、求出m ， n的值；

(2)、观察图象，写出 $- \frac{1}{2} x + m \leq - 2 x + 3$ 的解集；

(3)、设 $△ B O C$ 和 $△ A B P$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ ．

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六、实践探究题

35. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{2}{3} x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点A ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且与正比例函数 $y = \frac{4}{3} x$ 的图象交点为 $C (3 ， 4) ．$ 若 $D$ 为线段 $O C$ 上的动点，过点 $D$ 作 $D E ∥ y$ 轴交 $A C$ 于点 $E ．$ 设 $D$ 点的横坐标为 $x$ ，线段 $D E$ 的长为 $y$ ．

(1)、问题提出
$y$ 与 $x$ 的函数关系式为；

(2)、若 $△ A O D$ 为等腰三角形，请求出点 $D$ 的坐标；

(3)、问题探究
平面内是否存在一点 $P$ ，使以 $O$ ， A ， $C$ ， $P$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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