中考数学第一轮复习：二元二次方程

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列说法正确的是（）

A、 $x^{2} + y = \sqrt{2}$ 是二元二次方程 B、 $x^{2} - x = 0$ 是二项方程 C、 $\frac{x^{2} - x}{3} = 2$ 是分式方程 D、 $\frac{x^{2} - x}{x} = \sqrt{2}$ 是无理方程

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2. 下列说法正确的是（　　）

A、x²﹣x＝0是二元一次方程 B、 $\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{3} = 4$ 是分式方程 C、 $\sqrt{2} x^{2} - 2 x = \sqrt{3}$ 是无理方程 D、2x²﹣y＝4是二元二次方程

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3. 下列方程组是二元二次方程组的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 3 y = 2 \\ x^{2} + x y - x = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x y + x = 20 \\ x + \frac{1}{y} = 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + 5 = y \\ 3 x - y = - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} + 1} = 2 y \\ 3 y = - x \end{array}$

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4. 下列方程中，判断中不正确的是（）

A、方程 $\frac{x + 2}{3 x + 1} - \frac{x}{6} = 0$ 是分式方程 B、方程 $3 x y + 2 x + 1 = 0$ 是二元二次方程 C、方程 $\sqrt{3} x^{2} + \sqrt{2} x - \sqrt{7} = 0$ 是无理方程 D、方程 $(x + 2) (x - 2) = - 6$ 是一元二次方程

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5. 下列说法正确的是（　　）

A、x²+3x=0是二项方程 B、xy﹣2y=2是二元二次方程 C、 $\frac{x^{2} + 2 x}{2}$ 是分式方程 D、 $\sqrt{2}$ x²- $\sqrt{6}$ =1是无理方程

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6. 以方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \\ 3 x + 4 y = 2 \end{array}$ 的解为坐标的点（x，y）在第（）象限．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 方程组 $\frac{6 xy}{2 x + 5 y} = \frac{- 2 yz}{3 y + 2 z} = \frac{- zx}{5 z + 6 x} = 1$ （）

A、没有解 B、有1组解 C、有3组解 D、以上答案都不对

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8. 如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（）

A、5 B、6 C、9 D、10

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二、填空题

9. 瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高 $50 %$ ，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为 $5 ： 2 ： 3 ： 1$ 恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有吨．

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10. 试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，你写的这个方程是（写出一个符合条件的即可）．

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11. 二元二次方程 $x^{2} - x y - 6 y^{2} = 0$ 可以化为两个一次方程，他们是．

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12. 将二元二次方程 $x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0$ 化为两个一次方程为．

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13. 写出二元二次方程 $x^{2} + y^{2} = 13$ 的一对整数解是．

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14. 正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为.

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15. 将二元二次方程 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = 4$ 化为二个二元一次方程为．

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16. 如果一个二元二次方程的一个解是 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \end{matrix}$ ，那么这个二元二次方程可以是．（只需写一个）

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17. 若关于x和y的二元二次方程 $x^{2} + m y = 1$ 有一个解是 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ ，则m的值为．

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18. 把二次方程 $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = 4$ 化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是．

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19. 方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0 \\ x + y = 3 \end{array}$ 的解是．

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20. 中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， $α$ 为直角三角形中的较大锐角，则tan $α$ =.

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三、计算题

21. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - y - 2 = 0 & ① \\ x^{2} + y^{2} = 10 & ② \end{array}$

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22. 解方程组： ${\begin{array}{l} y - 2 x = 6 ① \\ 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} = 4 ② \end{array}$

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23. 解方程组∶ ${\begin{array}{l} x + y = 2 \\ x^{2} - 4 y^{2} = 0 \end{array}$ ．

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24. 解方程组： ${\begin{array}{l} x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x - 11 y - 2 = 0 \end{array}$

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25. 解方程组： ${\begin{array}{l} x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0 \\ x + 2 y - 12 = 0 \end{array}$ ．

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26. 解方程组： ${\begin{array}{l} x + 2 y = 12 ① \\ 9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} = 16 ② \end{array}$

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27. 解方程组： ${\begin{array}{l} 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} = 9 \\ x^{2} + 5 x y - 6 y^{2} = 0 \end{array}$ ．

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四、解答题

28. 在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息：（1）乙单位捐款数比甲单位多一倍；（2）乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少 $100$ 元；（3）甲单位的人数是乙单位的 $\frac{1}{4}$ ．
你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？

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五、实践探究题

29. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{array}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形： $4 x + 10 y + y = 5$ 即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5$ ③，

把方程①代入③得： $2 \times 3 + y = 5$ ，

$∴ y = - 1$ ，

把 $y = - 1$ 代入①得 $x = 4$ ，

$∴$ 方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ ．

请你解决以下问题：

(1)、模仿小军的“整体代换”法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 5 ① \\ 9 x - 4 y = 19 ② \end{array}$ ；

(2)、已知 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 3 x^{2} - 2 x y + 12 y^{2} = 47 ① \\ 2 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 36 ② \end{array}$ ，求 $x^{2} + 4 y^{2}$ 与 $x y$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．

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六、综合题

30. 若两个正整数a，b，满足（a+b）²=ka+b，k为自然数，则称a为b的“k级”数.例如，a=2，b=3，(2+3)²=11×2+3，则2为3的“11级”数.

(1)、4是5的“”级数；正整数n为1的“”级数（用关于n的代数式表示）；

(2)、是否存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在，请说明理由；

(3)、已知x，y均为小于100的正整数，且x为y的“100”级数，直接写出所有满足条件的x，y的值.

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31. 规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．

(1)、若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；

(2)、若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值；

(3)、若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式 $(m n + m)^{2} - 9 (m n + n)^{2} - \frac{3}{2} （ m - n)$ 的值．

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