中考数学第一轮复习：整式方程

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 在下列方程中，有实数根的是（）

A、 $\sqrt{x - 2} + 3 = 0$ B、 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ C、 $\sqrt{2 x + 3} = x$ D、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

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2. 方程 $2 x^{3} - 2 = 0$ 的解是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 0$ C、 $x = 1$ D、 $x = \pm 1$

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3. 所谓方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的取值．那么关于未知数x的方程： $x (x + 1) (x - 2) = 0$ 的解的说法正确的是（）．

A、只有2一个解 B、仅有－1、2两个解 C、共有－1、0、2三个解 D、无解

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4. 下列方程中是一元整式方程的是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ x+1=2 B、 $\frac{3}{y}$ +4y=1 C、 $\frac{2}{3 y + 1} = \frac{5}{y}$ D、x（3﹣y）=xy+2

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5. 下列方程中，有实数根的方程是（）

A、 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ B、 $\sqrt{x} + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 1 = 0$ D、 $x^{3} + 1 = 0$

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6. 下列方程中， $x ＝ 1$ 是它的根的方程为（）

A、 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 0$ B、 $2 x^{3} - 6 = 0$ C、 $\sqrt{x} + 1 = 0$ D、 $\frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

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7. 下列方程中，有实数根的方程是（）

A、 $8 x^{3} + 1 = 0$ ； B、 $x^{4} + 1 = 0$ ； C、 $\sqrt{x + 1} + 2 = 0$ ； D、 $\frac{2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}$ ．

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8. 下列方程有实数根的是（）

A、 $x^{4} + 1 = 0$ B、 $x^{3} + 1 = 0$ C、 $\sqrt{x - 3} + 1 = 0$ D、 $\frac{1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

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9. 下列说法中，正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 x = 0$ 是二项方程 B、 $\frac{x + 1}{3} + \frac{x - 1}{2} = 0$ 是分式方程 C、 $\sqrt{3} x^{2} - \sqrt{2} x - 1 = 0$ 是无理方程 D、 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y^{2} = 1 \end{array}$ 是二元二次方程组

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10. 下列方程中，属于二项方程的是（）

A、 $2 x^{3} + 9 = 0$ B、 $x^{3} + 5 x = 0$ C、 $x^{4} + 2 x^{2} = 1$ D、 $\frac{1}{x} + 4 = 0$

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11. 下列方程中，二项方程的是（）

A、 $2 x^{2} = 0$ B、 $x^{2} - x = 0$ C、 $\frac{1}{2} x^{3} - 1 = 0$ D、 $y^{4} + 2 x^{2} = 1$

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12. 下列方程属于二项方程的是（）

A、x＋1＝0 B、 $\sqrt{x}$ ﹣5＝0 C、x﹣ $\frac{1}{x}$ ＝0 D、x³﹣x＝1

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13. 下列说法正确的是（　　）

A、 $\frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{x}{3} = 1$ 分式方程 B、 $x^{2} + 3 y = 1$ 是二元二次方程 C、 $x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$ 是无理方程 D、 $x^{2} + x = 0$ 是二项方程

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14. 下列说法正确的是（）

A、 $x^{4} + 1 = 0$ 是二项方程 B、 $x^{2} y - y = 2$ 是二元二次方程 C、 $\frac{x}{3} - \frac{x}{2} = 1$ 是分式方程 D、 $\sqrt{2} x^{_{2}} - 1 = 0$ 是无理方程

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15. 下列方程中，有实数根的是（）

A、 $x^{3} = - 1$ B、 $\sqrt{x^{4} + 1} = 0$ C、 $x^{2} + 5 x + 8 = 0$ D、 $\frac{x - 1}{x^{2}} = 1$

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二、填空题

16. 关于 $x$ 的方程： ${(a x)}^{2} = 1 (a \neq 0)$ 的根为．

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17. 方程 $x^{3} + 8 = 0$ 的解是．

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18. 方程 $\frac{1}{2} x^{5} + \frac{3}{2} = 0$ 的解是．（保留三位小数）．

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19. 方程 $3 x^{3} - 3 = 0$ 根是．

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20. 二项方程 $\frac{1}{2}$ x⁴﹣8＝0的实数根是．

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21. 二项方程 $2 x^{3} + 54 = 0$ 的解是．

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22. 二项方程 $2 x^{3} + 16 = 0$ 在实数范围内的解是．

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23. 二项方程 $2 x^{3} + 54 = 0$ 在实数范围内的解是

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24. 方程 $3 x^{3} = 81$ 的根是．

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25. 方程 $4 x^{4} = \frac{1}{4}$ 的解是．

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三、计算题

26. 解方程组： ${\begin{matrix} x - 2 y - 1 = 0 \\ x^{2} + 2 x y + y^{2} = 4 \end{matrix}$

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四、解答题

27. 求方程 $x^{4} + 2 x^{2} - 6 x + 8 = y^{2} + y$ 的正整数解 $(x ， y)$ .

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五、综合题

28. 利用方程（组）或不等式（组）解决问题：
“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读，已知用1300元购买《孟子》和《论语》各20本，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元．

(1)、求购买《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？

(2)、学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定再次购进两种书共50本，正逢书店“优惠促销”活动，《孟子》单价优惠4元，《论语》的单价打8折．如果此次学校购买书的总费用不超过1500元，那么《论语》最多购买多少本？

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29. 在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{array}$ ，首先将方程②变形得 $4 x + 10 y + y = 5$ ，即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5 ⋯$ ③，其次把方程①代入③得： $2 \times 3 + y = 5$ 即 $y = - 1$ ，最后把 $y = - 1$ 代入方程①，得 $x = 4$ ，所以方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ ．
请你解决以下问题：

(1)、你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 ① \\ 6 x + 10 y = 25 ② \end{array}$ ；

(2)、已知 $x 、 y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} + x y + 3 y^{2} = 45 ① \\ 3 x^{2} - x y + 9 y^{2} = 151 ② \end{array}$ ；
（Ⅰ）求 $x y$ 的值；
（Ⅱ）求出这个方程组的所有整数解．

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30. 已知a，b，c为有理数，且多项式 $x^{3} + a x^{2} + b x + 2 c$ 能够写成 $(x^{2} - x - 2) (x - c)$ 的形式.

(1)、a+b的值为；

(2)、用配方法求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值.

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31. 读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x³-x²-2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x²-x-2）＝0，解方程x＝0和x²-x-2＝0，可得方程x³-x²-2x＝0的解.

(1)、问题：方程x³-x²-2x＝0的解是x₁＝0，x₂＝， x₃＝.

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{4 x + 5} = x$ 的解.

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝6m，宽AB＝4m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

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