中考数学第一轮复习：不等式与不等式组

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 5月某日，我市最高气温是 $32 ℃$ ，最低气温是 $24 ℃$ ，则当天气温t（ $℃$ ）的变化范围是（）

A、 $t \geq 24$ B、 $t < 32$ C、 $24 < t < 32$ D、 $24 \leq t \leq 32$

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2. 如果 $a > b$ ，那么下列结论一定正确的是（）．

A、 $a - 3 < b - 3$ B、 $- 4 a > - 4 b$ C、 $3 - a > 3 - b$ D、 $- \frac{a}{3} < - \frac{b}{3}$

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3. 若 $m > - 1$ ，则下列各式中错误的是（）

A、 $4 m > - 4$ B、 $- 5 m < - 5$ C、 $m + 1 > 0$ D、 $1 - m < 2$

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4. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - m}{2} \geq 2 \\ x - 4 \leq 3 (x - 2) \end{array}$ 的最小整数解是2，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq m < - 2$ B、 $- 3 < m \leq - 2$ C、 $- 3 < m < - 2$ D、 $- 3 \leq m \leq - 2$

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5. 以下是一元一次不等式的是（）

A、 $x + y > 0$ B、 $\frac{x}{2} > 0$ C、 $x^{2} \neq 3$ D、 $\frac{2}{x} \neq 3$

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $4 x + a \leq 5$ 只有3个正整数解，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $- 11 < a \leq - 7$ B、 $- 11 \leq a \leq - 7$ C、 $- 11 < a < - 7$ D、 $- 11 \leq a < - 7$

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7. 不等式6-3x＜0的最小整数解是（　）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 下列不等式组是一元一次不等式组的是（）

A、 ${\begin{matrix} x - y > 0 \\ x + y < 0 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x + \frac{1}{3} > \frac{1}{2} x \\ 3 x \neq 4 x - 1 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 3 x - 2 > 0 \\ (x - 2) (x + 3) > 0 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 0 \\ x > - y \end{matrix}$

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9. 若式子 $\sqrt{2 - x} - \sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≤2 B、x≥1 C、x≥2 D、1≤x≤2

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10. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 < 1 \\ m - x < 1 \end{array}$ ，恰有两个整数解，则m的取值范围是（）

A、 $- 1 < m \leq 0$ B、 $- 1 \leq m < 0$ C、 $- 1 < m < 0$ D、 $- 1 < m \leq 1$

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11. 闻宏商店计划用不超过 $8400$ 元的货款，购进 $A$ 、 $B$ 两种单价分别为 $120$ 元、 $200$ 元的商品共 $50$ 件，据市场行情，销售 $A$ 、 $B$ 商品各一件分别可获利 $20$ 元、 $40$ 元，两种商品均售完 $.$ 若所获利润大于 $1500$ 元，则该商店进货方案有（）

A、 $4$ 种 B、 $5$ 种 C、 $6$ 种 D、 $8$ 种

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12. 若关于x的不等式 $x \geq m - 1$ 的解集如图所示，则m的值是（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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13. 如果关于x的分式方程 $\frac{a}{x + 1} - 3 = \frac{1 - x}{x + 1}$ 有负数解，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (a - y) ⩽ - y - 4 \\ \frac{3 y + 4}{2} < y + 1 \end{array}$ 无解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A、-2 B、0 C、1 D、3

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二、填空题

14. 用不等式表示：a与2的差大于-1 ．

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15. 已知 $2 x + y = 5$ ， ①用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$ ；②当 $x = 3$ 时， $y =$ ；③当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，则 $y$ 的取值范围为：．

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16. 已知 $(a - 4) x^{| 3 - a |} + 1 > 0$ 是关于x的一元一次不等式，则 $a =$ ．

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17. a与2的差不大于0，用不等式表示为．

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18. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - 2 x > x - 2 \\ x - m > 0 \end{array}$ 恰好有三个整数解，则m的取值范围是

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19. 一种定价为20元的商品，商店“6.18”做促销打折活动，优惠方式如下：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价的八折付款．小宇有160元，他最多可以购买该商品件．

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20. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 4 < 3 \\ \frac{1 - x}{3} \leq 1 \end{array}$ 的解集是．

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21. 不等式组 ${\begin{cases} 2 x + 1 < - 1 \\ 3 - x > 1 \end{cases}}$ 的解集为.

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22. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) > x - 6 \\ 8 - 2 x + 2 a \geq 0 \end{array}$ 有三个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为．

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23. 小明沿着某公园的环形跑道（周长大于 $1 k m$ ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑 $1 k m$ ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前 $4 k m$ 的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数 $3 k m$ （填“ $>$ ”“＝”或“ $<$ ”）；如果小明跑到 $10 k m$ 时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为．

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三、解答题

24. 解不等式 $\frac{x}{2} - 1 > \frac{5 x + 2}{4}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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25. 解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} < 5$ ，并在数轴上表示解集。

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26. 佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产 $A$ ， $B$ 两种不同款式的服装，每套 $A$ 款服装所用布料的米数相同，每套 $B$ 款服装所用布料的米数相同，若 $1$ 套 $A$ 款服装和 $2$ 套 $B$ 款服装需用布料 $5$ 米， $3$ 套 $A$ 款服装和 $1$ 套 $B$ 款服装需用布料 $7$ 米．

(1)、求每套 $A$ 款服装和每套 $B$ 款服装需用布料各多少米；

(2)、该中学需要 $A$ ， $B$ 两款服装共 $100$ 套，所用布料不超过 $168$ 米，那么该服装厂最少需要生产多少套 $B$ 款服装？

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27. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} - 1 < 0 \\ x - 1 \leq 3 (x + 1) \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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28. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 2) \leq 8 - (x - 6) \\ \frac{x + 1}{2} \leq \frac{2 x - 1}{3} + 1 \end{array}$ ，并在数轴上表示它的解集．

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29. 为了加强中华传统文化教育，某校计划组织学生去参观陕西历史博物馆．现有 $A ， B$ 两种客车可供选择， $A$ 种客车可载 $45$ 人， $B$ 种客车可载 $33$ 人．若租用 $2$ 辆 $A$ 种客车和 $3$ 辆 $B$ 种客车，共需 $1700$ 元；若租用 $1$ 辆 $A$ 种客车和 $2$ 辆 $B$ 种客车，共需 $1000$ 元。

(1)、每辆 $A$ 种客车和每辆 $B$ 种客车的租金各多少元？

(2)、若学校安排 $5$ 名教师带 $280$ 名学生去博物馆，计划租用 $A ， B$ 两种客车共 $7$ 辆，且要保证所有出行师生都有座位，则有几种租车方案？哪种方案租金最便宜？

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30. 某校为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．

(1)、甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

(2)、若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．

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四、实践探究题

31. 阅读材料：已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $k x + b y = c$ 有一组整数解 ${\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ ，则方程 $k x + b y = c$ 的全部整数解可表示为 ${\begin{array}{l} x = x_{0} - b t \\ y = y_{0} + k t \end{array}$ （ $t$ 为整数）．问题：求方程 $7 x + 19 y = 213$ 得所有正整数解．
解：该方程有一组整数解为 ${\begin{array}{l} x_{0} = 6 \\ y_{0} = 9 \end{array}$ ，则全部整数解可表示为 ${\begin{array}{l} x = 6 - 19 t \\ y = 9 + 7 t \end{array}$ （ $t$ 为整数）．

∵ ${\begin{array}{l} 6 - 19 t > 0 \\ 9 + 7 t > 0 \end{array}$ ， ∴ $- \frac{9}{7} < t < \frac{6}{19}$ ．

∵ $t$ 为整数，∴ $t = 0$ 或 $- 1$ ．

∴该方程的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 6 \\ y = 9 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = 25 \\ y = 2 \end{array}$ ．

根据以上解法，回答下列问题：

(1)、方程 $3 x - 7 y = 13$ 的全部整数解表示为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 7 t \\ y = a + 3 t \end{array}$ （ $t$ 为整数），则 $a =$ ；

(2)、请你参照上述解题方法，求方程 $2 x + 3 y = 20$ 的全部正整数解．

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32. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程 $x - 1 = 3$ 的解为 $x = 4$ ，而不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的解集为 $2 < x < 5$ ，不难发现 $x = 4$ 在 $2 < x < 5$ 的范围内，所以方程 $x - 1 = 3$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的“关联方程”．

(1)、在方程① $3 (x + 1) - x = 9$ ；② $\frac{x - 1}{2} + 1 = x$ ；③ $4 x - 7 = 0$ 中，不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 2 > x - 1 \\ 3 (x - 2) - x \leq 4 \end{array}$ 的“关联方程”是；（填序号）

(2)、关于 $x$ 的方程 $2 x - k = 6$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x + 1}{2} \geq x \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{3} - 1 \end{array}$ 的“关联方程”，求 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 7}{2} - 3 m = 0$ 是关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 2 m}{2} > m \\ x - m \leq 2 m + 1 \end{array}$ 的“关联方程”，且此时不等式组有 $4$ 个整数解，试求 $m$ 的取值范围．

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33. 阅读下列材料：我们知道 $| x |$ 表示的是在数轴上数 $x$ 对应的点与原点的距离，即 $| x | = | x - 0 |$ ，也就是说， $| x |$ 表示在数轴上数 $x$ 与数 $0$ 对应点之间的距离 $.$ 这个结论可以推广为 $| x_{1} - x_{2} |$ 表示在数轴上数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 对应点之间的距离．
例如：解方程 $| x | = 6$ ．

解： $∵ | x | = | x - 0 | = 6$ ，

$∴$ 在数轴上与原点距离为 $6$ 的点对应的数为 $\pm 6$ ，即该方程的解为 $x = \pm 6$ ．

【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

我们定义：形如“ $| x | \leq m$ ， $| x | \geq m$ ， $| x | < m$ ， $| x | > m$ ” $(m$ 为非负数 $)$ 的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．

由图 $1$ 可以得出：绝对值不等式 $| x | > 1$ 的解集是 $x < - 1$ 或 $x > 1$ ，

绝对值不等式 $| x | \leq 3$ 的解集是 $- 3 \leq x \leq 3$ ．

例如：解不等式 $| x - 1 | > 2$ ．

解：如图 $2$ ，首先在数轴上找出 $| x - 1 | = 2$ 的解，即到 $1$ 的距离为 $2$ 的点对应的数为 $- 1$ ， $3$ ，则 $| x - 1 | > 2$ 的解集为到 $1$ 的距离大于 $2$ 的点对应的所有数，所以原不等式的解集为 $x < - 1$ 或 $x > 3$ ．

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)、方程 $| x - 5 | = 3$ 的解为．

(2)、不等式 $| x | \geq 4$ 的解集是．

(3)、不等式 $2 | x + 2 | + 1 < 9$ 的解集是．

(4)、不等式 $| x + 1 | + | x - 3 | > 4$ 的解集是．

(5)、若 $| x - 3 | - | x + 4 | \leq a$ 对任意的 $x$ 都成立，则 $a$ 的取值范围是．

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五、综合题

34. 一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y (km)与货车出发时间x (h)之间的函数关系．

(1)、轿车出发时，两车相距km；

(2)、若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；

(3)、若轿车出发1.6h，此时与货车的距离小于12km，直接写出轿车速度v的取值范围．

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35. 党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某社区欲购进一批树苗进行绿化，已知购进A种树苗80棵，B种树苗30棵，共需要9500元；购进A种树苗50棵，B种树苗60棵，共需要8000元．

(1)、问A ， B两种树苗每棵的进价分别是多少元？

(2)、考虑到绿化效果，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不超过7700元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？最少费用是多少？

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36. 昆明某家电专卖店销售每台进价分别200元、160元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况
销售时段销售型号销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1550元
第二周 4台 8台 2600元
（注：进价、售价均保持不变，利销=销售收入−进货成本）

(1)、求A，B两种型号的电风扇的销售单价；

(2)、若专卖店准备用不多于3560元的金额再采购这两种型号的电风扇共20台，且采购A型电风扇的数量不少于8台．求专卖店有哪几种采购方案？

(3)、在（2）的条件下．如果采购的电风扇都能销售完，请直接写出哪种采购方案专卖店所获利润最大？最大利润是多少？

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销售时段	销售型号		销售收入
销售时段	A种型号	B种型号	销售收入
第一周	3台	4台	1550元
第二周	4台	8台	2600元