中考数学第一轮复习：因式分解

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ B、 $8 a = 2 \times 4 a$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$ D、 $a b + a c + d = a (b + c) + d$

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2. 要将 $\frac{5 x y z}{20 x^{2} y}$ 化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（）

A、 $x y$ B、 $5 x y$ C、 $5 x y z$ D、 $20 x y$

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3. 把多项式 $2 x^{2} - 4 x$ 分解因式，应提取的公因式是（）

A、 $x$ B、2 C、 $x^{2}$ D、 $2 x$

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4. 下列各式中，不能分解因式的是（）

A、 $- a^{2} + b^{2}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ C、 $49 - z^{2}$ D、 $16 - 25 m^{2}$

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - x = x (x + 1)$ B、 $a^{2} - 3 a - 4 = (a + 4) (a - 1)$ C、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ D、 $a^{2} + 2 a b - b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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6. 对于任意实数a，b，a³+b³＝（a+b）（a²-ab+b²）恒成立，则下列关系式正确的是（）

A、a³-b³＝（a-b）（a²+ab+b²） B、a³-b³＝（a+b）（a²+ab+b²） C、a³-b³＝（a-b）（a²-ab+b²） D、a³-b³＝（a+b）（a²+ab-b²）

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7. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^{4} - y^{4}$ 因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当取 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，各个因式的值是： $(x - y) = 0$ ， $(x + y) = 18$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 $4 x^{3} - x y^{2}$ ，当取 $x = 10$ ， $y = 10$ 时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（）

A、102030 B、103020 C、101030 D、102010

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8. 已知二次三项式 $x^{2} - kx - 15$ 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数 $k$ 的取值范围有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 $\frac{F (s)}{F (t)}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、4

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10. 已知 $a = m + 2020$ ， $b = m + 2021$ ， $c = m + 2022$ ，则代数式 $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 a c$ 的值为（）

A、4 B、10 C、8 D、6

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二、填空题

11. 多项式6a²b-3ab²的公因式是

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12. 因式分解： $3 a^{2} + 9 a b =$

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13. 现有下列多项式：① $1 - a^{2}$ ；② $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；③ $4 a^{2} - 9 b^{2}$ ；④ $3 a^{3} - 12 a$ ．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有．（只需填上题序号即可）

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14. 分解因式： $x^{2} - 4 y^{2} + x - 2 y =$ .

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15. 因式分解： $x^{2} y - 6 x y + 9 y =$ ．

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16. 如果关于x的二次三项式 $x^{2} - 5 x + k$ 在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是．

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17. 若 $m^{2} = n + 2023 ， n^{2} = m + 2023$ ，且 $m \neq n$ ，则代数式 $m^{3} - 2 m n + n^{3}$ 的值为．

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18. 已知实数m、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足： $(m x_{1} - 2) (m x_{2} - 2) = 4$ ．
①若 $m = \frac{1}{3} ， x_{1} = 9$ ，则 $x_{2} =$ ．
②若m、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 为正整数，则符合条件的有序实数对 $(x_{1} ， x_{2})$ 有个

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三、计算题

19.

(1)、因式分解： $m a^{2} - 4 m b^{2}$

(2)、解方程： $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$

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20. 因式分解：

(1)、4 $a^{3} - a$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ ．

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21. 分解因式：

(1)、 $3 b^{2} + 6 a b$

(2)、 $4 x^{2} - 9$

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22. 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式 $x^{4} + 4$ 的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和 ${(x^{2})}^{2} + 2^{2}$ 的形式，要使用公式就必须添一项 $4 x^{2}$ ，随即将此项 $4 x^{2}$ 减去，即可得 $x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = {(x^{2} + 2)}^{2} - 4 x^{2} = {(x^{2} + 2)}^{2} - {(2 x)}^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ .人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”。
根据以上方法，把下列各式因式分解：

(1)、 $4 x^{4} + y^{4}$ ；

(2)、 $a^{2} - 4 a m - n^{2} + 4 m n$ .

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23. 因式分解： $3 a x^{2} - 6 a x + 3 a$ ．

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24. 已知 $x = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ， $y = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，求 $x^{2} - y^{2}$ 的值．

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四、解答题

25.

(1)、因式分解： ${(x - y)}^{3} + 4 x {(x - y)}^{2}$ ；

(2)、解不等式： $2 (x + 1) - 1 \geq 3 x + 2$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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26. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$ ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y = (x + 2 y) (x - 2 y) - 2 (x - 2 y) = (x - 2 y) (x + 2 y - 2)$

这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

(1)、分解因式 $a^{2} - 4 a - b^{2} + 4$ ；

(2)、 $△ A B C$ 三边 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} - a b - a c + b c = 0$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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27. 已知a、b、c是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{4} + b^{2} c^{2} = b^{4} + a^{2} c^{2}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．阅读下面解题过程：
解：由 $a^{4} + b^{2} c^{2} = b^{4} + a^{2} c^{2}$ 得：
$a^{4} - b^{4} = a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2}$ ①
$(a^{2} + b^{2}) (a^{2} - b^{2}) = c^{2} (a^{2} - b^{2})$ ②
即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ③
∴ $△ A B C$ 为 $R t △$ ④

(1)、试问：以上解题过程是否正确：

(2)、若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）

(3)、本题的结论应为．

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五、实践探究题

28. 阅读下列材料：将一个形如 $x^{2} + p x + q$ 的二次三项式因式分解时，如果能满足 $q = m n$ 且 $p = m + n$ ，则可以把 $x^{2} + p x + q$ 因式分解成 $(x + m) (x + n)$ ．
例如：（1） $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$ ；（2） $x^{2} - 4 x - 12 = (x - 6) (x + 2)$ ．

根据材料，把下列式子进行因式分解．

(1)、 $x^{2} - 6 x + 8$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x - 15$ ；

(3)、 $(x - 4) (x + 7) + 18$ ．

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29. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

(1)、分解因式：
① $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$ ；
② $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边a，b，c满足 $a^{2} - a c - b^{2} + b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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30. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ；
立方差公式： $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ .
根据材料和已学知识解决下列问题

(1)、因式分解： $a^{3} - 8$ ；

(2)、先化简，再求值： $(\frac{3 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} - 8}) \div \frac{2}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ .

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31. 【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．

例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．

(1)、【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．

(2)、【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式 $2 a^{2} + 5 a b + 3 b^{2}$ 因式分解，并画出图形．

(3)、【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把 $a^{3} + 4 a^{2} b + 3 a b^{2}$ 进行因式分解并写出因式分解结果．

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六、综合题

32. 已知三个整式 $x^{2} + 4 x$ ， $4 x + 4$ ， $x^{2}$ ．

(1)、从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；

(2)、从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．

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33. 在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：

例：因式分解： $(x^{2} + 6 x + 5) (x^{2} + 6 x - 7) + 36$

解：设 $x^{2} + 6 x = y$

原式 $= (y + 5) (y - 7) + 36$ 第一步

$= y^{2} - 2 y + 1$ 第二步

$= (y - 1)^{2}$ 第三步

$= (x^{2} + 6 x - 1)^{2}$ 第四步

完成下列任务：

(1)、例题中第二步到第三步运用了因式分解的；(填序号)

①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；

(2)、请你模仿以上例题分解因式：

(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4

．

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34. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如： $4 x^{2} - 4 x - y^{2} + 1 = (4 x^{2} - 4 x + 1) - y^{2} = {(2 x - 1)}^{2} - y^{2} = (2 x - y - 1) (2 x + y - 1)$

②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．

分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．

例如： $x^{2} - 3 x - 40$ 分析： $x^{2} - 3 x - 40$

观察得出：两个因式分别为 $(x + 5)$ 与 $(x - 8)$

解：原式 $= (x + 5) (x - 8)$

③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．

例如： $y^{2} - 10 y + 21 = y^{2} - 10 y + 25 - 4 = {(y - 5)}^{2} - 2^{2} = (y - 5 + 2) (y - 5 - 2) = (y - 3) (y - 7)$ ．

(1)、仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） $a b - a - b + 1 =$ ；
②（十字相乘法） $y^{2} + 3 y - 10 =$ ；

(2)、已知：a、b、c为 $△ A B C$ 的三条边， $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 a = 10 b + 8 c - 50$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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35.

(1)、分解因式： $- 4 x^{3} y + 4 x^{2} y^{2} - x y^{3}$ ；

(2)、分解因式： $(x^{2} + 4)^{2} - 16 x^{2}$ ；

(3)、先化简，再求值： $(2 a + b)^{2} + 4 (a + b) (a - b) - (2 a^{2} b^{2} + a^{3} b^{2}) \div (\frac{1}{2} a b)$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = 2$ ．

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36. [学习材料]拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法。如：

例1、分解因式：x⁴+4y⁴

解：原式=x⁴+4y⁴=x⁴+4x²y²+4y⁴-4x²y²

=(x²+2y²)²-4x²y²=(x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)

例2、分解因式：x³+5x-6

解：原式=x³-x+6x-6=x(x²-1)+6(x-1)=(x-1)(x²+x+6)

我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如

例3、把多项式a²+b²+4a-6b+13写成A²+B²的形式．

解：原式=a²+4a+4+b²-6b+9=(a+2)²+(b-3)²

[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+2x-8=

(2)、分解因式：x⁴+4=

(3)、关于x的二次三项式x²-20x+111在x=时，有最小值；

(4)、已知M=x²+6x+4y²-12y+m(x-y均为整数，m是常数)，若M恰能表示成A²+B²的形式，求m的值．

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