中考数学第一轮复习：整式（2）

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列代数式：① $a + 1$ ， ② $- \frac{3 a b}{7}$ ， ③5，④ $- 2 a + 5 b$ ， ⑤a，⑥ $\frac{1}{a}$ ．其中单项式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 观察下列关于 $a$ 的单项式，探究其规律： $a$ ， $3 a^{2}$ ， $5 a^{3}$ ， $7 a^{4}$ ， $9 a^{5}$ ， …按照上述规律，第2023个单项式是（）

A、 $2023 a^{2023}$ B、 $4046 a^{2023}$ C、 $4045 a^{2023}$ D、 $4047 a^{2023}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、 $- \frac{2}{3} x y^{2}$ 的次数是2 B、 $\frac{1}{a}$ 是单项式 C、 $2 a^{2} - 3 a b c - 1$ 是三次三项式 D、 $- 2 π a b^{2}$ 的系数是 $- 2$

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4. 若 $a \neq 0$ ，下列计算正确的是（）

A、 $(- a)^{0} = 1$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $a^{- 1} = - a$ D、 $a^{6} - a^{3} = a^{3}$

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5. 下列方程的变形正确的是（）

A、 $\frac{x}{5} + 1 = \frac{x}{2}$ ，去分母，得 $2 x + 1 = 5 x$ B、 $5 - 2 (x - 1) = x + 3$ ，去括号，得 $5 - 2 x - 1 = x + 3$ C、 $5 x + 3 = 8$ ，移项，得 $5 x = 8 + 3$ D、 $3 x = - 7$ ，系数化为1，得 $x = - \frac{7}{3}$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$

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7. 关于多项式3x²-y-3xy³+x⁵-1，下列说法错误的是（　　）

A、这个多项式是五次五项式 B、常数项是-1 C、四次项的系数是3 D、按x降幂排列为x⁵+3x²-3xy³-y-1

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8. 有4张长为 $a$ 、宽为 $b (a > b)$ 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 $(a + b)$ 的正方形，图中阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，空白部分的面积为 $S_{2} .$ 若 $S_{2} = 2 S_{1}$ ，则 $a$ 、 $b$ 满足（）

A、 $2 a = 3 b$ B、 $2 a = 5 b$ C、 $a = 2 b$ D、 $a = 3 b$

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9. 计算： $- x^{4} \cdot (- x^{5})$ 的结果是（）

A、 $x^{9}$ B、 $- x^{9}$ C、 $x^{20}$ D、 $- x^{20}$

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10. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} \div x^{3} = x$ B、 $x^{2} \cdot 2 x^{4} = 2 x^{6}$ C、 $x + 3 x^{2} = 4 x^{3}$ D、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$

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11. 下列运算正确的是（）

A、 $(a b)^{3} = a b^{3}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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12. 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）

A、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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13. 对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x- y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，……
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
对以上说法判断为（）

A、①②都正确 B、①正确，②错误 C、①错误，②正确 D、①②都错误

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14. 在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n， $n - m$ ；
第2次操作后得到整式串m，n， $n - m$ ， $- m$ ；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（）

A、 $m + n$ B、m C、 $n - m$ D、 $2 n$

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15. 已知矩形ABCD，将两张边长分别为 $a$ 和 $b (a > b)$ 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为 $l$ ，若要知道 $l$ 的值，只需测量（）

A、 $a$ B、 $b$ C、BC D、AB

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二、填空题

16. 要使 $(y + 3) (y^{2} - m y - 2)$ 的展开式中不含 $y^{2}$ 项，则 $m$ 的值为．

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17. F（x）表示关于x的一个五次多项式，F（a）表示x＝a时F（x）的值，若F（-2）＝F（-1）＝F（0）＝F（1）＝0，F（2）＝24，F（3）＝360，则F（4）＝．

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18. $F (x)$ 表示关于 $x$ 的一个五次多项式， $F (a)$ 表示 $x = a$ 时 $F (x)$ 的值，若 $F (- 2) = F (- 1) = F (0) = F (1) = 0$ ， $F (2) = 24$ ， $F (3) = 360$ ，则 $F (4) =$ .

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19. 当 $a + b = 3$ 时，代数式 $2 (a + 2 b) - (3 a + 5 b) + 5$ 的值为．

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20. 计算： $(2 x)^{2} =$ ．

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21. 若多项式 $a x^{2} + b x + c$ 可以被分解为 $(x - 3) (x - 2)$ ，则 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

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22. ∵ $x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$ ， ∴ $(x^{2} + x - 6) \div (x - 2) = x + 3$ ，这说明 $x^{2} + x - 6$ 能被 $x - 2$ 整除，即 $(x - 2)$ 或 $(x + 3)$ 是 $x^{2} + x - 6$ 的一个因式．另外，当 $x - 2 = 0$ 即 $x = 2$ 时，多项式 $x^{2} + x - 6$ 的值为0；当 $x + 3 = 0$ 即 $x = - 3$ 时，多项式 $x^{2} + x - 6$ 的值为0．若 $x^{2} + k x - 15$ 能被 $x - 3$ 整除，则k的值是．

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23. 计算： $36 a^{3} b^{4} \div 9 a^{2} b$ = ．

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24. 已知关于 $x$ 的多项式 $4 x^{2} + 12 x + n$ 是一个完全平方式，则 $n =$ ．

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25. 观察下列各式的规律： $1 \times 3 = 2^{2} - 1$ ； $3 \times 5 = 4^{2} - 1$ ； $5 \times 7 = 6^{2} - 1$ ； $7 \times 9 = 8^{2} - 1 \dots$ 请将发现的规律用含 $n$ 的式子表示为．

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三、计算题

26. 化简： $2 (2 b - 3 a) - 3 (2 a - 3 b)$

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27. 计算：

(1)、 ${(x - y)}^{2} - (x + y) (x - y)$

(2)、 $(12 a^{2} b - 6 a b^{2}) \div (- 3 a b)$

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28. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \times \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．

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29. 先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} - (x + y) (x - y) - y^{2}$ ，其中 $x = 2$ ．

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30. 化简： $[(a + b) (a - b) - {(a - b)}^{2} - 2 b (b - a)] \div 4 b$ ．

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四、解答题

31. 某中学九年级的学生人数比八年级学生多．做广播操时，九年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排 $(3 a + b)$ 人，站有 $(2 a + 2 b)$ 排；八年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是 $2 (a + b)$ ，其中 $a > b$ ．

(1)、试求该学校九年级比八年级多多少名学生；用a与b的代数式表示．

(2)、当 $a = 10$ ， $b = 2$ 时，求该学校九年级比八年级多多少名学生．

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32. 是否存在正整数x和y，使得 $x^{2} = y^{2} + 2023$ ，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.

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33. 已知实数a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，求 $(a^{5} + b^{5} + c^{5}) \div a b c$ 的值.

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五、综合题

34. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．

(1)、观察图1，写出代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系：；

(2)、若 $x + y = 6$ ， $x y = 4$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ； ${(x - y)}^{2} =$ ；

(3)、如图2，边长为5的正方形 $A B C D$ 中放置两个长和宽分别为m ， n（ $m < 5$ ， $n < 5$ ）的长方形，若长方形的周长为12，面积为 $8.5$ ，求图中阴影部分的面积 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 的值．

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35. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，这样就用图形面积验证了完全平方公式．

(1)、类似地，写出图2中所表示的数学等式为；

(2)、如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为；

(3)、利用上面（2）的结论解决问题：若 $x + y = 7 ， x y = 6$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；

(4)、利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接 $B D$ 和 $B F$ ，若这两个正方形的边长满足 $a + b = 16$ ， $a b = 63$ ，请求出阴影部分的面积．

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36. 如图，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

(1)、你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
答：

(2)、请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：

(3)、仔细观察图b，写出下列三个代数式之间的等量关系．
代数式：(m+n)² ， (m－n)² ， 4mn
答：

(4)、根据（3）题中所写的等量关系，解决如下问题．
若a+b=8，ab=5，则(a－b)²= ．

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