中考数学第一轮复习：整式（1）

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列整式中，是二次单项式的是（）

A、 $x^{2} + 1$ B、 $x y$ C、 $x^{2} y$ D、 $- 3 x$

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2. 按一定规律排列的单项式： $x ， 2 x^{3} ， 4 x^{5} ， 8 x^{7} ， ⋯ ⋯$ ，则第 $n$ 个单项式是（）

A、 $2^{n} x^{2 n - 1}$ B、 $2^{n - 1} x^{2 n - 1}$ C、 $2^{n - 1} x^{2 n + 1}$ D、 $2^{n} x^{2 n + 1}$

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3. 下列说法中，正确的是（）

A、 $- \frac{1}{2} x^{2} y$ 的系数是 $\frac{1}{2}$ B、 $x^{2} - 1$ 的常数项是1 C、 $4 x^{2} y$ 次数是2次 D、 $2 x^{2} - x + 2$ 是二次多项式

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(2 a)}^{2} = 4 a$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{5} + a^{3} = a^{8}$ B、 $24 a^{6} \div (- a^{3}) = - 12 a^{2}$ C、 ${(- 2 a b^{3})}^{2} = 4 a^{2} b^{6}$ D、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 $a^{3} - a^{2} = a$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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7. 某同学在计算 $- 3 x$ 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 $3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ ，由此可以推断出原题正确的计算结果是（）

A、 $- x^{2} - 2 x - 1$ B、 $x^{2} + 2 x - 1$ C、 $- x^{2} + 4 x - 1$ D、 $x^{2} - 4 x + 1$

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8. 下列运算一定正确的是（）

A、 ${(- a b)}^{2} = - a^{2} b^{2}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ D、 $b^{2} + b^{2} = 2 b^{2}$

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9. 下面运算中，正确的是（）

A、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ C、 $2 x^{2} + 3 x^{3} = 5 x^{5}$ D、 ${(- 3 x^{2})}^{3} = - 9 x^{6}$

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10. 如果 $(2 x + k) (x - 3)$ 展开后的结果不含x的一次项，则k的值是（）

A、0 B、 $\pm 6$ C、 $- 6$ D、6

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11. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{2} b^{4}$ C、 $a^{10} \div a^{5} = a^{2}$ D、 $a^{2} + a = a^{3}$

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12. 若长方形的面积是 $6 a^{3} + 9 a^{2} - 3 a b$ ，其中一边长是 $3 a$ ，则它的邻边长是（）

A、 $2 a^{3} + 3 a^{2} - b$ B、 $2 a^{2} + 3 a + b$ C、 $3 a^{2} + 2 a + b$ D、 $2 a^{2} + 3 a - b$

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13. 计算（-8m⁴n+12m³n²-4m²n³）÷（-4m²n）的结果是（　）

A、2m²n-3mn+n² B、2n²-3mn²+n² C、2m²-3mn+n² D、2m²-3mn+n

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14. 已知 $a b = 7$ ， $a - b = 5$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（）

A、39 B、23 C、18 D、9

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15. 下列多项式的变形中，正确的是（）

A、 $y - x = - (x - y)$ B、 $- x - y = - (x - y)$ C、 $- x + y = - (x + y)$ D、 $y + x = - (x + y)$

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二、填空题

16. 若 $(x + 2 m) (x - 3)$ 去括号后不含 $x$ 的一次项，则 $m$ 的值为．

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17. 若 $2 a - b + 3 = 0$ ，则 $2 (2 a + b) - 4 b$ 的值为．

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18. 已知 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 5$ ，则 $a^{3 m + 2 n} =$ ．

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19. 若□ $× 2 x y = 4 x^{2} y^{2}$ ，则□内应填的单项式是．

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20. 已知三项式x²+1+是一个完全平方式，但是其中一项看不清了，你认为这一项应该是（写出一个你认为正确的答案）.

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21. 用如图1所示的 $8$ 张长为 $a$ ，宽为 $b$ （ $a > b$ ）的小长方形纸片，按图 $2$ 的方式不重叠地放在矩形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 $S$ ，当 $B C$ 的长度发生变化时，按照同样的放置方式， $S$ 始终保持不变．则 $a$ ， $b$ 之间满足的关系式为．

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22. 已知实数m，n，a，b满足 $m^{2} + a = b + 1 ， n^{2} + 2 b = 2 a + 4$ ，若 $k = m^{2} - 2 n^{2} + 3$ ，则k的取值范围是．

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23. 对于千位数字是a、百位数字是b、十位数字是c、个位数字是d的四位正整数M，若 $a + c = b + d = 11$ ，则称这个四位正整数M为“平衡数”，并记 $f (M) = \frac{a - c}{b - d}$ ， $G (M) = 10 a + b - (10 c + d)$ ．例如：对于四位正整数2497，∵ $2 + 9 = 4 + 7 = 11$ ， ∴2497是“平衡数”，且 $f (2497) = \frac{2 - 9}{4 - 7} = \frac{7}{3}$ ， $G (2497) = 24 - 97 = - 73$ ．若四位正整数M是一个“平衡数”，且满足 $a < b$ ， $f (M) = - 1$ ， $G (M)$ 是7的整数倍，则 $M =$ ．

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24. 若一个四位正整数（各个数位均不为0），百位数字比千位数字小3，个位数字比十位数字小2，则称该数为“和平数”，例如：4131，9642都是“和平数”，将一个四位正整数 $P$ 的百位和十位交换位置后得到四位数 $Q ， G (P) = \frac{P - Q}{90}$ ，若 $P$ 为“和平数”，且 $P$ 能被9整除，则满足条件的所有 $P$ 值中， $G (P)$ 的最大值是．

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25. 若一个四位数 $M$ 的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是 $M$ 去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数 $M$ 称为“和差数”，令 $M$ 的千位数字为 $a$ ，百位数字为 $b$ ，十位数字为 $c$ ，个位数字为 $d$ ，记 $G (M) = \frac{d}{c}$ ，且 $P (M) = \frac{M}{c + d}$ ，则 $\frac{G (1224)}{P (1224)} =$ ；当 $G (M)$ ， $P (M)$ 均为整数时， $M$ 的最大值为．

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三、计算题

26. 化简： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} + a} \div (1 - \frac{2}{a + 1})$ ．

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27. 计算： $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$

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28. 计算： ${(- 3 a b^{2})}^{3} \div (\frac{1}{2} a^{3} b^{3}) \cdot (- 2 a b^{3} c)$ ．

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29. 计算： $5 x (2 x + 3)$ ．

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30. 化简： $(3 a^{5} b^{3} + a^{4} b^{2}) \div {(- a^{2} b)}^{2} - (2 + a) (2 - a) - a (a - 5 b)$ ．

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31. 先化简，再求值： $[{(x + y)}^{2} - (3 x - y) (3 x + y) - 2 y^{2}] \div (- 2 x)$ ，其中 $x = - 1$ ， $y = - 2$ ．

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四、解答题

32. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．

(1)、如图1所示，边长为 $a$ 的正方形中有一个边长为 $b (b < a)$ 的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．请直接用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示图1中阴影部分的面积 $S_{1} =$ ，图2中阴影部分的面积 $S_{2} =$ ；

(2)、写出利用图1和图2的面积关系所揭示的因式分解的公式：；

(3)、如图3，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为 $m$ 的大正方形，3块是边长都为 $n$ 的小正方形，7块是长为 $m$ ，宽为 $n$ 的全等小长方形，且 $m > n$ ．观察图形，可以发现代数式 $2 m^{2} + 7 m n + 3 n^{2}$ 可以因式分解两个二项一次式的乘积，那么这两个二项一次式分别是什么？

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33. 阅读理解：
若 $x$ 满足 $(210 - x) (x - 200) = - 204$ ，试求 $(210 - x)^{2} + (x - 200)^{2}$ 的值．
解：设 $210 - x = a$ ， $x - 200 = b$ ，则 $a b = - 204$ ，且 $a + b = 210 - x + x - 200 = 10$ ．
因为 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 1 0^{2} - 2 \times (- 204) = 508$ ．
即 $(210 - x)^{2} + (x - 200)^{2}$ 的值为 $508$ ．
根据材料，请你完成下面这道题：
若 $x$ 满足 $(2022 - x)^{2} + (2020 - x)^{2} = 4042$ ，试求 $(2022 - x) (2020 - x)$ 的值．

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34. 先化简 $\frac{2 a + 2}{a} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2}} - \frac{a}{a + 1}$ ，再在 $- 2 < a < 2$ 的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．

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五、综合题

35. 若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求m，n的值．
解：∵ $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，
∴ $(m^{2} - 2 m n + n^{2}) +$ （）=0，
即（）+（）=0．
根据非负数的性质，得m=n= ▲ ．

(1)、阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；

(2)、设等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 6 b + 13 = 0$ ，求△ABC的周长．

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36. 【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为(a+b)² ，也可表示为c²+4× $\frac{1}{2}$ ab，即(a+b)²＝c²+4× $\frac{1}{2}$ ab，所以a²+b²＝c² ．

(1)、【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．

(2)、【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a²c²+a²b²＝c⁴-b⁴ ．

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