中考数学第一轮复习：无理数与实数

试卷更新日期：2023-09-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列实数属于无理数的是（）

A、3.14 B、 $\frac{1}{3}$ C、2.121121112 D、 $\sqrt{5}$

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2. 在-1，π， $\sqrt{2} ， - \sqrt[3]{9} ， \frac{22}{7}$ ， 0.1010010001…中，无理数的个数是（　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 已知(4-a)²与 $\sqrt{b + 1}$ 互为相反数，则a-b的平方根是（）、

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、± $\sqrt{5}$ D、± $\sqrt{3}$

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4. 16的算术平方根为（）

A、±4 B、±8 C、4 D、-4

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5. 用计算器计算，按键顺序是2，xy，3，＝，显示的结果是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、6 C、8 D、9

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6. 对于 $\sqrt{2}$ ，下列说法错误的是（）

A、是有理数 B、是无理数 C、是实数 D、是无限小数

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7. 已知边长为a的正方形面积为10，则下列关于a的说法：①a是10的算术平方根；②a是方程 $x^{2} - 10 = 0$ 的一个解；③a介于3和4之间，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、0个

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8. 如图，在数轴上，以 $- 1$ 所在点 $A$ 为圆心 $A B$ 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 $C$ ，则点 $C$ 对应的实数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $1 + \sqrt{5}$ C、 $- 1 + \sqrt{5}$ D、 $- 1 - \sqrt{5}$

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9. 在0， $- \frac{1}{3}$ ， 1， $\sqrt{3}$ 四个数中，最大的数是（）

A、0 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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10. 下列说法正确的是（），

A、|-2|=-2 B、0的倒数是0 C、4的平方根是2 D、- $\sqrt{3}$ 的相反数是 $\sqrt{3}$

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11. 实数10的相反数等于（）

A、-10 B、+10 C、 $- \frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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12. 下列实数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $2 π$ C、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ D、 $9^{\frac{1}{2}}$

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13. 下列说法错误的是（　　）

A、2的平方根是 $\sqrt{2}$ B、 $- 1$ 的立方根是 $- 1$ C、10是100的一个平方根 D、算术平方根是本身的数只有0和1

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14. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ${x}$ ，即当n为非负整数时，若 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ，则 ${x} = n$ ．反之，当n为非负整数时，若 ${x} = n$ ，则 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ．例如： ${0.36} = 0$ ， ${4.71} = 5$ ．给出下列说法：
① ${1.49} = 1$ ；
② ${2 x} = 2 {x}$ ；
③当 $x \geq 0$ ， m为非负整数时，有 ${m + 2023 x} = m + {2023 x}$ ；
④若 ${x - 1} = 3$ ，则非负实数x的取值范围为 $3.5 < x < 4.5$ ；
⑤满足 ${x} = \frac{6}{5} x$ 的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15. 我们用 $x_{n}$ 表示最接近 $\sqrt{n}$ 的整数，其中n为非负整数．例如：∵ $\sqrt{0} = 0$ ， ∴ $x_{0} = 0$ ；∵ $\sqrt{1} = 1$ ， ∴ $x_{1} = 1$ ；∵ $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， ∴ $x_{2} = 1$ ．则下列结论：
① $x_{5} = 2$ ；
③当 $x_{n} = 4$ 时，n的值有6个；
③ $x_{0} - x_{1} + x_{2} - x_{3} + x_{4} - \dots \dots - x_{19} + x_{20} = 0$ ；
④若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + ⋯ \frac{1}{x_{n}} = 98$ ，则 $n = 2450$ ．
其中正确的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

16. 若 $x - 2$ 有平方根，则实数 $x$ 的取值范围是．

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17. $\sqrt{64}$ 的立方根是；2- $\sqrt{3}$ 的绝对值是

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18. 已知 $2 a + b$ 的算术平方根是2， $a + 3 b$ 的立方根是 $- 2$ ，则 $a - b$ 的值是．

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19. 利用计算器计算： $\sqrt{6} - \sqrt[4]{4} \approx$ （保留两个有效数字）．

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20. 如果x⁴=a，那么x叫做a的四次方根.16的四次方根是.

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21. 比较大小： $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ $\sqrt{2}$ ．

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22. $1 - \sqrt{5}$ 的绝对值是．

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23. 计算： $\sqrt[3]{8} + {(- 2)}^{0} =$ ．

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24. 已知 $a^{2} = 81$ ， $\sqrt[3]{b} = - 2$ ，则 $\sqrt{b - a} =$ ．

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25. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的十位数字等于百位和个位数字的差的绝对值，则称N是“差等中项数”，例如：三位数413，∵ $1 = | 4 - 3 |$ ， ∴413是“差等中项数”．把一个差等中项数N的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为 $F (N)$ ，把N的百位数字的3倍，十位数字的2倍和个位数字之和记为 $G (N)$ ．例如： $F (413) = 41 + 43 + 13 = 97$ ， $G (413) = 4 \times 3 + 1 \times 2 + 3 = 17$ ．已知三位数A是“差等中项数”， $\sqrt{F (A) - 2 G (A)}$ 是整数，则满足条件的所有A的个数是．

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三、计算题

26. 计算题

(1)、 $\sqrt{25} - \sqrt[3]{- 1} - \sqrt{144} + \sqrt[3]{64}$

(2)、 $\sqrt{27} \times \sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$

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27. 用幂的运算性质计算： $\sqrt[6]{9^{2}} \times \sqrt{27} \div \sqrt[6]{3}$

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28. 计算题

(1)、 $\sqrt{0.04} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{\frac{1}{4}}$ ；

(2)、|1- $\sqrt{2}$ |+| $\sqrt{2}$ - $\sqrt{3}$ |+| $\sqrt{3}$ -2|

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29. 计算
$\sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{\frac{26}{27} - 1} + | \sqrt{3} - 2 | - \sqrt{4}$

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30. 计算： $| - 3 | - {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0} + {(- 1)}^{2023}$ ．

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四、实践探究题

31. 先阅读理解，再回答问题：
①∵ $\sqrt{1^{2} + 1} = \sqrt{2}$ ， $1 < \sqrt{2} < 2$ ， ∴ $\sqrt{1^{2} + 1}$ 的整数部分为1．
②∵ $\sqrt{2^{2} + 2} = \sqrt{6}$ ， $2 < \sqrt{6} < 3$ ， ∴ $\sqrt{2^{2} + 2}$ 的整数部分为2．
③∵ $\sqrt{3^{2} + 3} = \sqrt{12}$ ， $3 < \sqrt{12} < 4$ ， ∴ $\sqrt{3^{2} + 3}$ 的整数部分为3．
⋯⋯

(1)、填空： $\sqrt{n^{2} + n}$ 的整数部分是；

(2)、a，b分别是 $4 - \sqrt{6}$ 的整数部分和小数部分；
①分别写出a、b的值；
②求 $5 a b - b^{2}$ 的值．

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32. 阅读材料：求1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰的值.
解：设S=1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰
将等式两边同时乘以2得
2S=2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹
因此2S-S=（2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹） - （1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰） =2¹⁰¹-1
所以S=2¹⁰¹-1
即1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
请你仿照此法计算：

(1)、1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=

(2)、求1+3+3²+……+3¹⁰¹的值.

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33. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：

(1)、 $\sqrt{100} + \sqrt{99}$ 的有理化因式可以是， $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ 分母有理化得．

(2)、计算：
①当 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，则 $a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} =$ ；

② $\frac{2}{\sqrt{2} + 1} + \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{5} + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ （ $n \geq 1$ 且 $n$ 为整数）．

(3)、根据你的推断，比较 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的大小．

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五、综合题

34. 两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如 $a + b \sqrt{m}$ 和 $a - b \sqrt{m}$ （a、b为有理数且 $b \neq 0$ ， m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：

(1)、根据共轭实数的定义我们可以判定： $8 + 3 \sqrt{2}$ 与 $8 - 2 \sqrt{3}$ 不是共轭实数， $8 - 2 \sqrt{3}$ 与 $8 + 2 \sqrt{3}$ 是共轭实数，请分别说明理由

(2)、请你设计并写出一对共轭实数与；

(3)、小明发现共轭实数 $a + b \sqrt{m}$ 与 $a - b \sqrt{m}$ 的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差。

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35. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于不重合的两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，如果当 $| x_{1} | > | x_{2} |$ 时，有 $| y_{1} | \geq | y_{2} |$ ；当 $| x_{1} | < | x_{2} |$ 时，有 $| y_{1} | \leq | y_{2} |$ ，则称点 $P$ 与点 $Q$ 互为“进取点”．特别地，当 $| x_{1} | = | x_{2} |$ 时，点 $P$ 与点 $Q$ 也互为“进取点”．已知点 $A (2 ， 2)$ ，点 $B (4 ， 4)$ ．

(1)、如图1，下列各点： $C (4 ， 3)$ ， $D (- 2 ， 3)$ ， $E (- 1 ， - 3)$ ， $F (1 ， - 1)$ ，其中所有与点 $A$ 互为“进取点”的是；

(2)、如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足 $| x | \leq 4$ ， $| y | \leq 4$ 的所有整点中（如图2）：
①已知点 $P (x ， y)$ 为第一象限中的整点，且与点 $A$ ，点 $B$ 均互为“进取点”，求所有符合题意的点 $P$ 的坐标；
②在所有的整点中取 $n$ 个点，若这 $n$ 个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出 $n$ 的最大值．

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36. 大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：∵ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，

∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $(\sqrt{7} - 2)$ ．

请解答：

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是．

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为 $a$ ， $\sqrt{13}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知： $10 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，直接写出 $x - y$ 的相反数．

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