2023年黑龙江省中考数学真题分类汇编9 锐角三角函数与三视图

试卷更新日期：2023-09-04 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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5. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

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7. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E为边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，过点B作 $B F ⊥ A E$ 于点F，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点G， $F H$ 平分 $∠ B F G$ 交 $B D$ 于点H.则下列结论中，正确的个数为（）
① $A B^{2} = B F \cdot A E$ ② $S_{△ B G F} ： S_{△ B A F} = 2 ： 3$ ③当 $A B = a$ 时， $B D^{2} - B D \cdot H D = a^{2}$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

10. 如图，将 $45 °$ 的 $∠ A O B$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合， $O A$ 与尺下沿重合， $O B$ 与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为 $2 c m$ ，若按相同的方式将 $22.5 °$ 的 $∠ A O C$ 放置在该刻度尺上，则 $O C$ 与尺上沿的交点C在尺上的读数为 $c m$ ．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A，B在x轴上， $A B = 2$ ， $A (1 ， 0)$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点A旋转 $90 °$ 后，得到菱形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是．

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12. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点E为高 $B D$ 上的动点.连接 $C E$ ，将 $C E$ 绕点C顺时针旋转60°得到 $C F$ .连接 $A F$ ， $E F$ ， $D F$ ，则 $△ C D F$ 周长的最小值是.

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三、计算题

13. 先化简，再求代数式 $(\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 2}) \div \frac{x - 1}{4 x + 4}$ 的值，其中 $x = 2 c o s 45 ° - 1$ ．

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14. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 c o s 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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15. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = s i n 30 °$ ．

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16. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{m + 1}) \div \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - m}$ ，其中 $m = t a n 60 ° - 1$ ．

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17.

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 4 s i n 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + (4 - π)^{0}$

(2)、分解因式： $2 a^{3} - 12 a^{2} + 18 a$

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四、作图题

18. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 2$ ， D为 $A B$ 的中点，以 $C D$ 为直角边作含 $30 °$ 角的 $R t △ C D E$ ， $∠ D C E = 90 °$ ，且点E与点A在 $C D$ 的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段 $A E$ 的长．

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五、解答题

19. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点 $A$ 出发，途经点 $B$ 后到达山顶 $P$ ，其中 $A B = 400$ 米， $B P = 200$ 米，且 $A B$ 段的运行路线与水平方向的夹角为 $15 °$ ， $B P$ 段的运行路线与水平方向的夹角为 $30 °$ ，求垂直高度 $P C$ ．（结果精确到 $1$ 米，参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.259$ ， $c o s 15 ° \approx 0.966$ ， $t a n 15 ° \approx 0.268$ ）

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六、综合题

20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是圆上的一点， $C D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ ，若 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，延长 $A B$ ， $D C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A F \cdot A C = A E \cdot A H$ ；

(3)、若 $s i n ∠ D E A = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{A H}{F H}$ 的值．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的 $⊙ O$ 经过点D，交AB于点F，连接DF.

(1)、求证：BC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B D = 5$ ， $t a n ∠ A D B = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $π$ ）.

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22. 如图，直线 $M N$ 和 $E F$ 为河的两岸，且 $M N ∥ E F$ ，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸 $F E$ 的B点测得 $∠ C B E = 30 °$ ，从B点沿河岸 $F E$ 的方向走40米到达D点，测得 $∠ C D E = 45 °$ .

(1)、求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

(2)、若从D点继续沿 $D E$ 的方向走 $(12 \sqrt{3} + 12)$ 米到达P点.求 $t a n ∠ C P E$ 的值.

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23. 如图，二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象与

x

轴交于A ，

B

两点，且自变量

x

的部分取值与对应函数值

y

如下表：

$x$	$⋯$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$⋯$
$y$	$⋯$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$	$⋯$

(1)、求二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的表达式；

(2)、若将线段

A B

向下平移，得到的线段与二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象交于

P

，

Q

两点（

P

在

Q

左边），

R

为二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象上的一点，当点

Q

的横坐标为

m

，点

R

的横坐标为

m + \sqrt{2}

时，求

t a n ∠ R P Q

的值；

(3)、若将线段

A B

先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数

y = \frac{1}{t} (a x^{2} + b x + c)

的图象只有一个交点，其中

t

为常数，请直接写出

t

的取值范围．

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24. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根（ $O B > O C$ ）．请解答下列问题：

(1)、求点B的坐标；

(2)、若 $O D ： O C = 2 ： 1$ ，直线 $y = - x + b$ 分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求 $t a n ∠ M N D$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使 $△ N P Q$ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A O C B$ 的边 $O C$ 在x轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 $O B$ 于点D，直线 $A D$ 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 $O D$ 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 $F E$ 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求直线 $A D$ 的解析式．

(2)、连接 $M N$ ，求 $△ M D N$ 的面积S与运动时间t的函数关系式．

(3)、点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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26. 如图， $M N$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $M N = 15$ ， $M C$ 与 $N D$ 为圆内的一组平行弦，弦 $A B$ 交 $M C$ 于点H.点A在 $\overset{⌢}{M C}$ 上，点B在 $\overset{⌢}{N C}$ 上， $∠ O N D + ∠ A H M = 90 °$ .

(1)、求证： $M H \cdot C H = A H \cdot B H$ .

(2)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ .

(3)、在 $⊙ O$ 中，沿弦 $N D$ 所在的直线作劣弧 $\overset{⌢}{N D}$ 的轴对称图形，使其交直径 $M N$ 于点G.若 $s i n ∠ C M N = \frac{3}{5}$ ，求 $N G$ 的长.

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