2023年黑龙江省中考数学真题分类汇编5 四边形

试卷更新日期：2023-09-04 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若 $∠ B A D = α$ ， $∠ C B E = β$ ，则 $β =$ （）

A、 $45 ° + \frac{1}{2} α$ B、 $45 ° + \frac{3}{2} α$ C、 $90 ° - \frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{3}{2} α$

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2. 下列说法正确的是（）

A、一个函数是一次函数就一定是正比例函数 B、有一组对角相等的四边形一定是平行四边形 C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等 D、一组数据的方差一定大于标准差

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点A，B在y轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点C和 $A D$ 的中点E，若 $A B = 2$ ，则k的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 $A B E F$ ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕 $M N$ ，如图②．
根据以上的操作，若 $A B = 8$ ， $A D = 12$ ，则线段 $B M$ 的长是（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、1

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5. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

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6. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 4$ ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为 $x (0 \leq x \leq 4)$ ， $△ D M N$ 的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E为边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，过点B作 $B F ⊥ A E$ 于点F，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点G， $F H$ 平分 $∠ B F G$ 交 $B D$ 于点H.则下列结论中，正确的个数为（）
① $A B^{2} = B F \cdot A E$ ② $S_{△ B G F} ： S_{△ B A F} = 2 ： 3$ ③当 $A B = a$ 时， $B D^{2} - B D \cdot H D = a^{2}$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 4$ ，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段 $A D$ 向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒， $△ A M N$ 的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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二、填空题

11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，请添加一个条件，使矩形 $A B C D$ 是正方形（填一个即可）

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12. 如图，在四边形ABCD中， $A D = B C$ ， $A C ⊥ B D$ 于点O.请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形.

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13. 如图在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $C D$ 上，连接 $A E$ ， $B E$ ， F为 $B E$ 的中点连接 $C F$ ．若 $C F = \frac{\sqrt{29}}{2} ， \frac{D E}{E C} = \frac{3}{2}$ ，则 $A E$ 的长为．

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14. 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 边上，连接 $O F$ ．若 $∠ A D B = 38 °$ ， $∠ B O F = 30 °$ ，则 $∠ A O F =$ ．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A，B在x轴上， $A B = 2$ ， $A (1 ， 0)$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点A旋转 $90 °$ 后，得到菱形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E在边 $C D$ 上， $B E$ 交对角线 $A C$ 于点F， $C M ⊥ B E$ 于M， $∠ C M E$ 的平分线所在直线分别交 $C D$ ， $A C$ 于点N，P，连接 $F N$ ．下列结论：① $S_{△ N P F} ： S_{△ N P C} = F M ： M C$ ；② $C M = P N$ ；③ $E N \cdot C D = E C \cdot C F$ ；④若 $E M = 1$ ， $M B = 4$ ，则 $P M = \sqrt{2}$ ，其中正确的是．

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17. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， A D = 9$ ，将矩形 $A B C D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在点 $E$ 处，若 $△ A D E$ 是直角三角形，则点 $E$ 到直线 $B C$ 的距离是．

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18. 矩形纸片ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点M在AD边所在的直线上，且 $D M = 1$ ，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为.

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三、解答题

19. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点 $E$ 在对角线 $B D$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 上，连接 $A E$ ， $E F$ ， $D E = B F ， B E = B C$ ．

(1)、如图①，求证 $△ A E D ≌ △ E F B$ ；

(2)、如图②，若 $A B = A D ， A E \neq E D$ ，过点 $C$ 作 $C H ∥ A E$ 交 $B E$ 于点 $H$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（ $∠ B A E$ 除外），使写出的每个角都与 $∠ B A E$ 相等．

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四、综合题

20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为线段 $C D$ 的中点，连接 $A C$ ， $A E$ ，延长 $A E$ ， $B C$ 交于点 $F$ ，连接 $D F$ ， $∠ A C F = 90 °$ ．

(1)、求证：四边形 $A C F D$ 是矩形；

(2)、若 $C D = 13$ ， $C F = 5$ ，求四边形 $A B C E$ 的面积．

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21. $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ ，垂足为E，连接 $D E$ ，将 $E D$ 绕点E逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $E F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、当点E在线段 $B C$ 上， $∠ A B C = 45 °$ 时，如图①，求证： $A E + E C = B F$ ；

(2)、当点E在线段 $B C$ 延长线上， $∠ A B C = 45 °$ 时，如图②：当点E在线段 $C B$ 延长线上， $∠ A B C = 135 °$ 时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；

(3)、在（1）、（2）的条件下，若 $B E = 3$ ， $D E = 5$ ，则 $C E =$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根（ $O B > O C$ ）．请解答下列问题：

(1)、求点B的坐标；

(2)、若 $O D ： O C = 2 ： 1$ ，直线 $y = - x + b$ 分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求 $t a n ∠ M N D$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使 $△ N P Q$ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A O C B$ 的边 $O C$ 在x轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 $O B$ 于点D，直线 $A D$ 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 $O D$ 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 $F E$ 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求直线 $A D$ 的解析式．

(2)、连接 $M N$ ，求 $△ M D N$ 的面积S与运动时间t的函数关系式．

(3)、点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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24. 已知：四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点F是 $B C$ 延长线上的一个动点（点F不与点C重合）.连接 $A F$ 交 $C D$ 于点G.

(1)、如图一，当点G为 $C D$ 的中点时，求证： $△ A D G ≌ △ F C G$ .

(2)、如图二，过点C作 $C E ⊥ A F$ ，垂足为E.连接 $B E$ ，设 $B F = x$ ， $C E = y$ .求y关于x的函数关系式.

(3)、如图三，在（2）的条件下，过点B作 $B M ⊥ B E$ ，交 $F A$ 的延长线于点M.当 $C F = 1$ 时，求线段 $B M$ 的长.

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