2023年黑龙江省中考数学真题分类汇编4 三角形

试卷更新日期：2023-09-04 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，分别与直线l交于点A，B，把一块含 $30 °$ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $135 °$ B、 $105 °$ C、 $95 °$ D、 $75 °$

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2. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若 $∠ B A D = α$ ， $∠ C B E = β$ ，则 $β =$ （）

A、 $45 ° + \frac{1}{2} α$ B、 $45 ° + \frac{3}{2} α$ C、 $90 ° - \frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{3}{2} α$

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3. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B$ 过原点 $O$ ，底边 $B C ∥ x$ 轴，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过 $A ， B$ 两点，过点 $C$ 作 $C D ∥ y$ 轴交双曲线于点 $D$ ，若 $S_{△ B C D} = 12$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $- 12$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- 9$

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4. 下列命题中叙述正确的是（）

A、若方差 $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$ ，则甲组数据的波动较小 B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C、三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

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5. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内， $∠ 1 = 25 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、55° B、65° C、70° D、75°

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二、填空题

6. 如图，在 $△ A B C$ 中，将 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $α$ 至 $A B^{'}$ ，将 $A C$ 绕点A逆时针旋转 $β$ 至 $A C^{'} (0 ° < α < 180 ° ， 0 ° < β < 180 °)$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，使 $∠ B A C + ∠ B^{'} A C^{'} = 180 °$ ，我们称 $△ A B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 的“旋补三角形”， $△ A B^{'} C^{'}$ 的中线 $A D$ 叫做 $△ A B C$ 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．
① $△ A B C$ 与 $△ A B^{'} C^{'}$ 面积相同；
② $B C = 2 A D$ ；
③若 $A B = A C$ ，连接 $B B^{'}$ 和 $C C^{'}$ ，则 $∠ B^{'} B C + ∠ C C^{'} B^{'} = 180 °$ ；
④若 $A B = A C$ ， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则 $B^{'} C^{'} = 10$ ．

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7. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于点O，请添加一个条件，使 $△ A O B ≌ △ D O C$ ．（只填一种情况即可）

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8. 如图，将 $45 °$ 的 $∠ A O B$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合， $O A$ 与尺下沿重合， $O B$ 与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为 $2 c m$ ，若按相同的方式将 $22.5 °$ 的 $∠ A O C$ 放置在该刻度尺上，则 $O C$ 与尺上沿的交点C在尺上的读数为 $c m$ ．

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9. 在 $R t △ A C B$ 中， $∠ B A C = 30 ° ， C B = 2$ ，点 $E$ 是斜边 $A B$ 的中点，把 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得 $R t △ A F D$ ，点 $C$ ，点 $B$ 旋转后的对应点分别是点 $D$ ，点 $F$ ，连接 $C F$ ， $E F ， C E$ ，在旋转的过程中， $△ C E F$ 面积的最大值是．

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A在直线 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，顶点B在x轴上， $A B$ 垂直 $x$ 轴，且 $O B = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $C$ 在直线 $l_{2} ： y = \sqrt{3} x$ 上， $B C ⊥ l_{2}$ ；过点 $A$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{1}$ ，交x轴于 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $A_{1} B_{1}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，连接 $A_{1} C_{1}$ ，得到第一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{2}$ ，交x轴于 $B_{2}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $A_{2} B_{2}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{2}$ ，连接 $A_{2} C_{2}$ ，得到第二个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；如此下去，……，则 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ 的面积是．

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11. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点E为高 $B D$ 上的动点.连接 $C E$ ，将 $C E$ 绕点C顺时针旋转60°得到 $C F$ .连接 $A F$ ， $E F$ ， $D F$ ，则 $△ C D F$ 周长的最小值是.

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12. 已知等腰 $△ A B C$ ， $∠ A = 120 °$ ， $A B = 2$ .现将 $△ A B C$ 以点B为旋转中心旋转45°，得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，延长 $C^{'} A^{'}$ 交直线 $B C$ 于点D.则 $A^{'} D$ 的长度为.

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三、作图题

13. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 $1$ 个单位长度，线段 $A B$ 和线段 $C D$ 的端点均在小正方形的顶点上．

(1)、在方格纸中画出 $△ A B E$ ，且 $A B = B E ， ∠ A B E$ 为钝角（点 $E$ 在小正方形的顶点上）；

(2)、在方格纸中将线段 $C D$ 向下平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $1$ 个单位长度后得到线段 $M N$ （点 $C$ 的对应点是点 $M$ ，点 $D$ 的对应点是点 $N$ ），连接 $E N$ ，请直接写出线段 $E N$ 的长．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 2$ ， D为 $A B$ 的中点，以 $C D$ 为直角边作含 $30 °$ 角的 $R t △ C D E$ ， $∠ D C E = 90 °$ ，且点E与点A在 $C D$ 的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段 $A E$ 的长．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (2 ， - 1) ， B (1 ， - 2)$ ， $C (3 ， - 3)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、将 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 着原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，求线段 $A_{2} C_{2}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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四、解答题

16. 如图①， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是等边三角形，连接 $D C$ ，点F，G，H分别是 $D E ， D C$ 和 $B C$ 的中点，连接 $F G ， F H$ ．易证： $F H = \sqrt{3} F G$ ．
若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，如图②：若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 120 °$ ，如图③：其他条件不变，判断 $F H$ 和 $F G$ 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

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五、实践探究题

17. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)、发现问题：如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接BE，CF，延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：， $∠ B D C =$ °；

(2)、类比探究：如图2，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及 $∠ B D C$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为点M.则BF，CF，AM之间的数量关系：；

(4)、实践应用：正方形ABCD中， $A B = 2$ ，若平面内存在点P满足 $∠ B P D = 90 °$ ， $P D = 1$ ，则 $S_{△ A B P} =$ .

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