2023年黑龙江省中考数学真题分类汇编3 函数

试卷更新日期：2023-09-04 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $y = \sqrt{x + 1}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、 $x \leq 1$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x < - 1$ D、 $x > 1$

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2. 下列说法正确的是（）

A、一个函数是一次函数就一定是正比例函数 B、有一组对角相等的四边形一定是平行四边形 C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等 D、一组数据的方差一定大于标准差

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3. 一条小船沿直线从 $A$ 码头向 $B$ 码头匀速前进，到达 $B$ 码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回 $A$ 码头．在整个过程中，这条小船与 $B$ 码头的距离s（单位： $m$ ）与所用时间 $t$ （单位： $m i n$ ）之间的关系如图所示，则这条小船从 $A$ 码头到 $B$ 码头的速度和从 $B$ 码头返回 $A$ 码头的速度分别为（）

A、 $15 m / m i n ， 25 m / m i n$ B、 $25 m / m i n ， 15 m / m i n$ C、 $25 m / m i n ， 30 m / m i n$ D、 $30 m / m i n ， 25 m / m i n$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点A，B在y轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点C和 $A D$ 的中点E，若 $A B = 2$ ，则k的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 2 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ ．下列结论：① $\frac{a b}{c} > 0$ ；② $c = 2 b$ ；③若抛物线上有点 $(\frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $(- 3 ， y_{2})$ ， $(- \frac{1}{2} ， y_{3})$ ，则 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ ；④方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的解为 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ， $x_{2} = - \frac{1}{3}$ ，其中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B$ 过原点 $O$ ，底边 $B C ∥ x$ 轴，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过 $A ， B$ 两点，过点 $C$ 作 $C D ∥ y$ 轴交双曲线于点 $D$ ，若 $S_{△ B C D} = 12$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $- 12$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- 9$

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7. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 4$ ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为 $x (0 \leq x \leq 4)$ ， $△ D M N$ 的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a b c > 0$ ；② $b = 2 a$ ；③ $3 a + c = 0$ ；

④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + k^{2} = 0 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根；

⑤若点 $(m ， y_{1})$ ， $(- m + 2 ， y_{2})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上， $A C$ 平行于x轴，点B，C的横坐标都是3， $B C = 2$ ，点D在 $A C$ 上，且其横坐标为1，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象经过点B，D，则k的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 4$ ，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段 $A D$ 向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒， $△ A M N$ 的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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二、填空题

12. 在函数 $y = \frac{2}{x - 8}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 已知反比例函数 $y = \frac{14}{x}$ 的图象经过点 $(a ， 7)$ ，则a的值为．

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14. 抛物线 $y = - {(x + 2)}^{2} + 6$ 与y轴的交点坐标．

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15. 将抛物线 $y = {(x + 3)}^{2}$ 向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．

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16. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象的一支上，点B在反比例函数 $y = - \frac{k}{2 x}$ 图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为.

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A B^{'} C^{'}$ 的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点 $A (2 ， 0)$ ，点 $C (a ， b)$ ， $∠ C = 90 °$ .则点 $C^{'}$ 的坐标为.（结果用含a，b的式子表示）

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A在直线 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，顶点B在x轴上， $A B$ 垂直 $x$ 轴，且 $O B = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $C$ 在直线 $l_{2} ： y = \sqrt{3} x$ 上， $B C ⊥ l_{2}$ ；过点 $A$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{1}$ ，交x轴于 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $A_{1} B_{1}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，连接 $A_{1} C_{1}$ ，得到第一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{2}$ ，交x轴于 $B_{2}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $A_{2} B_{2}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{2}$ ，连接 $A_{2} C_{2}$ ，得到第二个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；如此下去，……，则 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ 的面积是．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上， $O A = O B = 4$ ，连接AB，过点O作 $O A_{1} ⊥ A B$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ x$ 轴于点 $B_{1}$ ；过点 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ⊥ A B$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ x$ 轴于点 $B_{2}$ ；过点 $B_{2}$ 作 $B_{2} A_{3} ⊥ A B$ 于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} B_{3} ⊥ x$ 轴于点 $B_{3}$ ；…；按照如此规律操作下去，则点 $A_{2023}$ 的坐标为.

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三、综合题

20. 一次函数 $y = - x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积；

(3)、过动点 $T (t ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $l$ 与一次函数 $y = - x + m$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象分别交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $M$ 在 $N$ 的上方时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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21. 某建筑物的窗户如图所示，上半部分 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ， $A F ： B F = 3 ： 4$ ，点 $G$ 、 $H$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点；下半部分四边形 $B C D E$ 是矩形， $B E ∥ I J ∥ M N ∥ C D$ ，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设 $B F = x$ 米， $B E = y$ 米．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x$ 为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

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22. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；

(2)、求 $△ B C P$ 的面积．
注：抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点坐标是 $(- \frac{b}{2 a} ， \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$ ．

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23. 在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息 $1 h$ 后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发 $1.5 h$ 后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程 $y k m$ 与甲车行驶时间 $x h$ 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：

(1)、甲车行驶的速度是 $k m / h$ ，乙车行驶的速度是 $k m / h$ ．

(2)、求图中线段 $M N$ 所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；

(3)、乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是 $160 k m$ ？请直接写出答案．

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24. 已知甲，乙两地相距 $480 k m$ ，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 $120 k m$ ，货车继续出发 $\frac{2}{3} h$ 后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 $y (k m)$ 与货车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)、图中 $a$ 的值是；

(2)、求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 $y (k m)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系式；

(3)、直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距 $12 k m$ ．

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25. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．

(1)、求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

(2)、已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？

(3)、在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、拋物线上是否存在一点 $P$ ，使得 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， $\frac{2}{5}$ 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)、A，B两地之间的距离是千米， $a =$ ；

(2)、求线段FG所在直线的函数解析式；

(3)、货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）

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28. 如图，二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象与

x

轴交于A ，

B

两点，且自变量

x

的部分取值与对应函数值

y

如下表：

$x$	$⋯$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$⋯$
$y$	$⋯$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$	$⋯$

(1)、求二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的表达式；

(2)、若将线段

A B

向下平移，得到的线段与二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象交于

P

，

Q

两点（

P

在

Q

左边），

R

为二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象上的一点，当点

Q

的横坐标为

m

，点

R

的横坐标为

m + \sqrt{2}

时，求

t a n ∠ R P Q

的值；

(3)、若将线段

A B

先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数

y = \frac{1}{t} (a x^{2} + b x + c)

的图象只有一个交点，其中

t

为常数，请直接写出

t

的取值范围．

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29. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A O C B$ 的边 $O C$ 在x轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 $O B$ 于点D，直线 $A D$ 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 $O D$ 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 $F E$ 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求直线 $A D$ 的解析式．

(2)、连接 $M N$ ，求 $△ M D N$ 的面积S与运动时间t的函数关系式．

(3)、点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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30. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人.

(1)、每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？

(2)、若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

(3)、在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米.

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31. 如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (- 6 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 6)$ 三点，且一次函数 $y = k x + 6$ 的图象经过点B.

(1)、求抛物线和一次函数的解析式.

(2)、点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)、将抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象向右平移8个单位长度得到抛物线 $y_{2}$ ，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线 $y_{2}$ 上的一个动点且在直线 $N C$ 下方.已知点P的横坐标为m.过点P作 $P D ⊥ N C$ 于点D.求m为何值时， $C D + \frac{1}{2} P D$ 有最大值，最大值是多少？

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32. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 6 ， 0)$ ， $B (8 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、如图①， $E$ 是第二象限抛物线上的一个动点，连接 $O E$ ， $C E$ ，设点 $E$ 的横坐标为 $t$ ， $△ O C E$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $t$ 的取值范围）；

(3)、如图②，在（2）的条件下，当 $S = 6 \sqrt{3}$ 时，连接 $B E$ 交 $y$ 轴于点 $R$ ，点 $F$ 在 $y$ 轴负半轴上，连接 $B F$ ，点 $D$ 在 $B F$ 上，连接 $E D$ ，点 $L$ 在线段 $R B$ 上（点 $L$ 不与点 $B$ 重合），过点 $L$ 作 $B R$ 的垂线与过点 $B$ 且平行于 $E D$ 的直线交于点 $G$ ， $M$ 为 $L G$ 的延长线上一点，连接 $B M$ ， $E G$ ，使 $∠ G B M = \frac{1}{2} ∠ B E G$ ， $P$ 是 $x$ 轴上一点，且在点 $B$ 的右侧， $∠ P B M - ∠ G B M = ∠ F R B + \frac{1}{2} ∠ D E G$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ B G$ ，交 $B G$ 的延长线于点 $N$ ，点 $V$ 在 $B G$ 上，连接 $M V$ ，使 $B L - N V = \frac{1}{2} B V$ ，若 $∠ E B F = ∠ V M N$ ，求直线 $B F$ 的解析式．

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四、实践探究题

33. 综合与探究
如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上的点A，C坐标分别为 $(0 ， 2)$ ， $(4 ， 0)$ ，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且 $O M = 2$ ，连接AC，CM.

(1)、求点M的坐标及抛物线的解析式；

(2)、点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当 $S_{△ P A C} = S_{△ A C M}$ 时，求点P的坐标；

(3)、点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与 $△ C O M$ 相似，请直接写出点Q的坐标；

(4)、将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，点C的对应点为点 $C^{'}$ ，在抛物线平移过程中，当 $M A^{'} + M C^{'}$ 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为， $M A^{'} + M C^{'}$ 的最小值为.

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