湖南省长沙市长郡教育集团2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-09-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a < b$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a - 1 < b - 1$ B、 $- a + 3 > - b + 3$ C、 $3 a < 3 b$ D、 $- \frac{a}{4} < - \frac{b}{4}$

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2. 如图，直线l₁∥l₂ ，直线l₁、l₂被直线l₃所截，若∠1＝54°，则∠2的大小为（）

A、36° B、46° C、126° D、136°

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3. 平面直角坐标系中，在第二象限的点是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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4. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（）

A、环保部门调查长江的水质情况 B、调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C、调查我市中学生使用手机的时长 D、调查神舟飞船各零件部位是否正常

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt[3]{9} = 3$ C、 $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ D、 $\sqrt{- 4} = - 2$

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6. 如图，下列推理不正确的是（）

A、∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ， ∴ $A D ∥ B C$ B、∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ， ∴ $A B ∥ C D$ C、∵ $∠ 3 = ∠ 4$ ， ∴ $A D ∥ B C$ D、∵ $∠ 4 = ∠ 5$ ， ∴ $A B ∥ C D$

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7. 如果方程组 ${\begin{array}{l} x + y = ★ \\ 2 x + y = 16 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 6 \\ y = ■ \end{array}$ 那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（）

A、3，10 B、4，10 C、10，4 D、10，3

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 3 \geq 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 k + 6 \\ 4 x + 7 y = k \end{array}$ 的解满足 $x + y = 2023$ ，则k的值为（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $A B ∥ E G ∥ x$ 轴， $B C ∥ D E ∥ H G ∥ A P ∥ y$ 轴，点D、C、P、H在x轴上， $A (1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ， $D (- 3 ， 0)$ ， $E (- 3 ， - 2)$ ， $G (3 ， - 2)$ ，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 $A - B - C - D - E - F - G - H - P - A$ 的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(1 ， 0)$

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 3 ， 4)$ 与点 $B (2 ， 4)$ 间的距离是．

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12. 如果关于 $x$ ， y的方程 $(m - 3) x + y^{| m - 2 |} = 2023$ 是二元一次方程，那么 $m =$ ．

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13. 若 $\sqrt{x - 4} + {(5 - y)}^{2} = 0$ ，则 $x + y$ 的平方根是．

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $x - a > 1$ 的解集如图所示，则 $a$ 的值等于

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15. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹 $x$ 两，牛每头 $y$ 两，根据题意可列方程组为.

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16. 如图

(1)、如图一， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 70 °$ ， $∠ D = 30 °$ ，则 $∠ D E B =$ ．

(2)、如图二， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B F = \frac{2}{3} ∠ A B E$ ， $∠ C D F = \frac{2}{3} ∠ C D E$ ， $D Q$ ， $B Q$ 分别平分 $∠ G D E$ 和 $∠ H B E$ ，则 $∠ D F B$ ， $∠ D Q B$ 满足的数量关系为．

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三、解答题

17. 计算： ${(- 1)}^{2023} - \sqrt{16} + | 3 - \sqrt{3} | - \sqrt[3]{- 8}$ ．

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18. 解二元一次方程组： ${\begin{array}{l} 3 x - 13 y = - 16 \\ x + 3 y = 2 \end{array}$ ．

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19. 解下列不等式（组）：

(1)、 $4 (x + 1) \leq 7 x + 10$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 \geq x + 2 \\ \frac{1}{4} x - 1 < \frac{8 - 3 x}{4} \end{array}$

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20. 如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立了平面直角坐标系 $x O y$ ， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，按要求解答下列问题：

(1)、画出 $△ A B C$ 向右平移6个单位长度后，再向下平移2个单位长度后的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 顶点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(3)、求线段 $A B$ 所扫过的面积．

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21. 为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．

根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)、求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；

(2)、将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

(3)、该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．

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22. 完成下面的证明．
已知：如图， $∠ C = ∠ D$ ， $∠ A F D + ∠ A E C = 180 °$ ．

求证： $∠ A = ∠ A E D$ ．

证明：∵ $∠ A F D = ∠ B F E$ （），

      $∠ A F D + ∠ A E C = 180 °$ （已知），

∴ $∠ B F E + ∠ A E C = 180 °$

∴ $B D$ ∥    ▲        （同旁内角互补，两直线平行）．

∴ $∠ C =$     ▲        （两直线平行，同位角相等）．

∵ $∠ C = ∠ D$ （已知），

∴ $∠ D = ∠ A B D$ （），

∴ $A C ∥ D E$ （）．

∴ $∠ A = ∠ A E D$ （）．

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23. 如图，已知 $∠ B A C = 90 °$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $H$ ， $∠ A B D + ∠ C E D = 180 °$ ．

(1)、求证： $B D ∥ E C$ ；

(2)、连接 $B E$ ，若 $∠ B D E = 30 °$ ，且 $∠ D B E = ∠ A B E + 50 °$ ，求 $∠ A B E$ 的度数．

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24. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．

(1)、求A、B两种品牌足球的单价各多少元？

(2)、根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？

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25. 阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足 $m - n = 6$ ，就称点 $P (m - 1 ， 3 n + 1)$ 为“郡麓点”．例如：点 $E （ 3 ， 1 ）$ ，令 ${\begin{array}{l} m - 1 = 3 \\ 3 n + 1 = 1 \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} m = 4 \\ n = 0 \end{array}$ ， $m - n = 4 \neq 6$ ，所以 $E （ 3 ， 1 ）$ 不是“郡麓点”；点 $F （ 4 ，－ 2 ）$ ，令 ${\begin{array}{l} m - 1 = 4 \\ 3 n + 1 = - 2 \end{array}$ ，得 $m - n = 6$ ，所以 $F （ 4 ，－ 2 ）$ 是“郡麓点”．

(1)、请判断点点 $A （ 7 ， 1 ）$ ， $B （ 6 ， 4 ）$ 是否为“郡麓点”：；

(2)、若以关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 2 \\ 2 x - y = t \end{array}$ 的解为坐标的点 $C （ x ， y ）$ 是“郡麓点”，求 $t$ 的值；

(3)、若以关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x - y = a \\ 3 x + y = 2 b \end{array}$ 的解为坐标的点 $D （ x ， y ）$ 是“郡麓点”，求正整数a，b的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为A， $B C ⊥ y$ 轴，垂足为C，已知 $A (a ， 0)$ ， C（0，c），其中a，c满足关系式 ${(a - 6)}^{2} + \sqrt{c + 8} = 0$ ．

(1)、点P从O点出发沿折线 $O A - A B - B C$ 的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为 $t$ 秒．
①在运动过程中，当点P到 $O C$ 的距离为2个单位长度时， $t =$ ▲ ；
②在点P的运动过程中，记 $△ P O C$ 的面积为S，用含t的代数式表示S；

(2)、点P在射线 $O A$ 上，点M为射线 $O A$ 上一动点， $∠ C P M ＝ 120 °$ ，连接MC，作 $C D$ 平分 $∠ P C M$ 交x轴于点 $D$ ，直线 $O A$ 上取点N，连接 $N C$ ，使 $∠ P N C = 2 ∠ N M C$ ，当 $∠ D C N = \frac{1}{4} ∠ D N C$ 时，求 $∠ D C M$ 的大小．

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