2019-2023高考数学真题分类汇编24 概率及其应用（1）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 某物理量的测量结果服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，下列结论中不正确的是（）

A、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中在 $(9.9, 10.1)$ 的概率越大 B、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(10, 10.3)$ 的概率相等

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4. 在区间(0, $\frac{1}{2}$ )随机取1个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A、0.3 B、0.5 C、0.6 D、0.8

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6. 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{23}{32}$ C、 $\frac{9}{32}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）

A、0.8 B、0.4 C、0.2 D、0.1

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9. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 ${(x ， y) | 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}$ 内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 $\frac{π}{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，且 $p_{3} > p_{2} > p_{1} > 0$ ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）

A、p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B、该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C、该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D、该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

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13. 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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14. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）

A、10名 B、18名 C、24名 D、32名

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15. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A、62% B、56% C、46% D、42%

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二、多项选择题

16. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 $(1 - α) (1 - β)^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到 1，0，1的概率为 $β (1 - β)^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β (1 - β)^{2} (1 - β)^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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三、填空题

17. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 2) =$ ， $E (ξ) =$ ．

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18. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．

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19. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

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20. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 $ξ$ ，若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m - n =$ ， $E (ξ) =$ .

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21. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5 ： 4 ： 6$ ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 % ， 25 % ， 50 %$ ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．

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22. 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为

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23. 已知随机变量X服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (2 < X \leq 2.5) = 0.36$ ，则 $P (X > 2.5) =$ ．

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24. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为， 3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．

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四、解答题

25. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)、求甲学校获得冠军的概率；

(2)、用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

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26. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化
第1天到第20天	-	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	-	-	+	-	+	0	0	+
第21天到第40天	0	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	+	-	-	-	+	0	-	+

用频率估计概率．

(1)、试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)、假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)、假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

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27. 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到模型有棕色内饰.
求 $P (B) 、 P (B / A)$ ，并据此判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立；

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望

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28. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；

乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；

丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E X$ ；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

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29. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

(1)、①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

(2)、若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．

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30. 某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题・每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。

(1)、若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

(2)、为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

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31. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，

(1)、求甲连胜四场的概率；

(2)、求需要进行第五场比赛的概率；

(3)、求丙最终获胜的概率.

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32. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P (X = i) = p_{i} (i = 0 ， 1 ， 2 ， 3)$ ．

(1)、已知 $p_{0} = 0.4 ， p_{1} = 0.3 ， p_{2} = 0.2 ， p_{3} = 0.1$ ，求 $E (X)$ ；

(2)、设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + p_{3} x^{3} = x$ 的一个最小正实根，求证：当 $E (X) \leq 1$ 时， $p = 1$ ，当 $E (X) > 1$ 时， $p < 1$ ；

(3)、根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3