2019-2023高考数学真题分类汇编23 计数原理、二项式、排列组合

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同抽样结果共有（）.

A、 $C_{400}^{45} \cdot C_{200}^{15}$ 种 B、 $C_{400}^{20} \cdot C_{200}^{40}$ 种 C、 $C_{400}^{30} \cdot C_{200}^{30}$ 种 D、 $C_{400}^{40} \cdot C_{200}^{20}$ 种

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2. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A、120种 B、90种 C、60种 D、30种

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4. 在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）．

A、-5 B、5 C、-10 D、10

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5. (1+2x²)(1+x)⁴的展开式中x³的系数为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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6. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A、120 B、60 C、40 D、30

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7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A、30种 B、60种 C、120种 D、240种

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8. 有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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9. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）．

A、 $- 80$ B、 $- 40$ C、40 D、80

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10. 若 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ （）

A、40 B、41 C、-40 D、-41

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11. $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中x³y³的系数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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二、多项选择题

12. 设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \dots + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1}$ ，记 $ω (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k}$ ．则（）

A、 $ω (2 n) = ω (n)$ B、 $ω (2 n + 3) = ω (n) + 1$ C、 $ω (8 n + 5) = ω (4 n + 3)$ D、 $ω (2^{n} - 1) = n$

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三、填空题

13. 已知多项式 $(x + 2) {(x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．

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14. $(1 - \frac{y}{x}) {(x + y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 (用数字作答).

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15. 在 ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{12}$ 的展开式中，含 $\frac{1}{x^{4}}$ 项的系数为

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16. ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中常数项为．

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17. 已知多项式 ${(x - 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} = x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x + a_{4}$ ，则 $a_{1} =$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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18. 在 ${(2 x^{3} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数是．

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19. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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20. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

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21. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）

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22. 在 ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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23. 已知 ${(1 + 2023 x)}^{100} + {(2023 - x)}^{100} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{100} x^{100}$ ，其中 $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ⋯ a_{100} \in ℝ$ ，若 $0 \leq k \leq 100$ 且 $k \in ℕ$ ，当 $a_{k} < 0$ 时， $k$ 的最大值是；

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24. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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25. 设（1+2x）⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₄＝；a₁+a₂+a₃＝．

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26. ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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27. 在 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，常数项等于．

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28. 在二项式（ $\sqrt{2}$ +x）⁹的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是

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29. ${(2 x - \frac{1}{8 x^{3}})}^{8}$ 是展开式中的常数项为.

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30. 空间内存在三点 $A 、 B 、 C$ ，满足 $A B = A C = B C = 1$ ，在空间内取不同两点(不计顺序)，使得这两点与 $A 、 B 、 C$ 可以组成正四棱锥，求方案数为；

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