2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（4）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知A为抛物线C:y²=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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2. 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 设O为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点，若 $△ O D E$ 的面积为8，则C的焦距的最小值为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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4. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知⊙M： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 x + y + 2 = 0$ ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当 $| P M | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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6. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $P Q ⊥ l$ 于Q，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（）．

A、经过点O B、经过点P C、平行于直线 $O P$ D、垂直于直线 $O P$

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8. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，且P为函数y＝3 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 图象上的点，则|OP|＝（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{10}$

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10. 以 $(a_{1} ， 0)$ ， $(a_{2} ， 0)$ 为圆心的两圆均过 $(1 ， 0)$ ，与轴正半轴分别交于 $(y_{1} ， 0)$ ， $(y_{2} ， 0)$ ，且满足 $\ln y_{1} + \ln y_{2} = 0$ ，则点 $(\frac{1}{a_{1}} ， \frac{1}{a_{2}})$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点A和点B ，且 $| A B | = 4 | O F |$ （O为原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $| A B | = 4 | O F |$ （ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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13. 已知F是双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 $| O P | = | O F |$ ，则 $△ O P F$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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14. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为F，点P 在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、多项选择题

15. 已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ .（）

A、若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若m=n>0，则C是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若m=0，n>0，则C是两条直线

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三、填空题

16. 已知直线 $x - \sqrt{3} y + 8 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $| A B | = 6$ ，则 $r$ 的值为．

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17. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ x，则该双曲线的离心率是.

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18. 已知F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

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19. 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 $| A B |$ = ．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $P (\frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ ，A，B是圆C： $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 36$ 上的两个动点，满足 $P A = P B$ ，则△PAB面积的最大值是．

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21. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．

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22. 设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C₁：x²+y²＝1，C₂：（x﹣4）²+y²＝1，若直线l与C₁ ， C₂都相切，则k＝；b＝．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.

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24. 已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m= ， r=

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25. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是

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26. 设F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF₁F₂为等腰三角形，则M的坐标为。

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四、解答题

27. 已知A、B分别为椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， $\vec{A G} \cdot \vec{G B} = 8$ ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

(1)、求E的方程；

(2)、证明：直线CD过定点.

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28. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，

(1)、求C的方程；

(2)、点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

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29. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点A（2，1）．

(1)、求C的方程：

(2)、点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

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30. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, - 3)$ ，右焦点为F，且 $| O A | = | O F |$ ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点C满足 $3 \vec{O C} = \vec{O F}$ ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 $A B$ 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 $A B$ 的中点．求直线 $A B$ 的方程．

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31. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂ ，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．

(1)、求△AF₁F₂的周长；

(2)、在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 $\vec{O P} \cdot \vec{Q P}$ 的最小值；

(3)、设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₂=3S₁ ，求点M的坐标．

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32. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $A (- 2, - 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点 $B (- 4, 0)$ 的直线l交椭圆C于点 $M, N$ ,直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x = - 4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{| P B |}{| B Q |}$ 的值．

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33. 如图，已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{2}$ +y²＝1，抛物线C₂：y²＝2px（p＞0），点A是椭圆C₁与抛物线C₂的交点，过点A的直线l交椭圆C₁于点B，交抛物线C₂于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ $\frac{1}{16}$ ，求抛物线C₂的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

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34. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为F₁（–1、0），F₂（1，0）．过F₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F₂： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF₁并延长交圆F₂于点B ，连结BF₂交椭圆C于点E ，连结DF₁ ．已知DF₁= $\frac{5}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求点E的坐标．

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35. 已知抛物线方程 $y^{2} = 4 x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $P F$ 与抛物线的交点，定义： $d (P) = \frac{| P F |}{| F Q |}$ ．

(1)、当 $P (- 1 ， - \frac{8}{3})$ 时，求 $d (P)$ ；

(2)、证明：存在常数 $a$ ，使得 $2 d (P) = | P F | + a$ ；

(3)、 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 为抛物线准线上三点，且 $| P_{1} P_{2} | = | P_{2} P_{3} |$ ，判断 $d (P_{1}) + d (P_{3})$ 与 $2 d (P_{2})$ 的关系．

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36. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上.若 $| O N | = | O F |$ （ $O$ 为原点），且 $O P ⊥ M N$ ，求直线 $P B$ 的斜率.

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37. 如图，已知点F（1，0）为抛物线y²=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S₁_，S₂.

(1)、求P的值及抛物线的准线方程.

(2)、求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点G点坐标.

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38. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为B.已知 $\sqrt{3} | O A | = 2 | O B |$ （ $O$ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $p$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x = 4$ 上，且 $O C ∥ A P$ ，求椭圆的方程.

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39. 已知曲线C：y= $\frac{x^{2}}{2}$ ，D为直线y= $- \frac{1}{2}$ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A ， B.

(1)、证明：直线AB过定点：

(2)、若以E(0， $\frac{5}{2}$ )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

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40. 已知曲线C: $y = \frac{x^{2}}{2}$ ，D为直线y=- $\frac{1}{2}$ 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、证明：直线AB过定点；

(2)、若以E（0， $\frac{5}{2}$ ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

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