2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（3）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 点 $(3 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} ＝ 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 $| C D | = \sqrt{2} | A B |$ ．则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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3. 已知F₁,F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点M在C 上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

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4. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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5. 已知F₁ ， F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 $| PB | \leq 2 b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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7. 点(0，﹣1)到直线 $y = k (x + 1)$ 距离的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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9. 若直线l与曲线y= $\sqrt{x}$ 和x²+y²= $\frac{1}{5}$ 都相切，则l的方程为（）

A、y=2x+1 B、y=2x+ $\frac{1}{2}$ C、y= $\frac{1}{2}$ x+1 D、y= $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{1}{2}$

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10. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1，0） D、（2，0）

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11. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 $| O P | = 2$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多项选择题

13. 已知点P在圆 ${(x - 5)}^{2}$ + ${(y - 5)}^{2}$ =16上，点A（4,0），B（0,2），则（）

A、点P到直线AB的距离小于10 B、点P到直线AB的距离大于2 C、当∠PBA最小时，|PB|=3 $\sqrt{2}$ D、当∠PBA最大时，|PB|=3 $\sqrt{2}$

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三、填空题

14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ （m>0）的一条渐近线为 $\sqrt{3} x$ +my=0，则C的焦距为.

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15. 若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与y轴交于点A ，与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切于点B ，则 $| A B | =$ ．

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16. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

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17. 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| PQ | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

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18. 已知O为坐标原点，抛物线C： $y^{2} = 2 px (p > 0 ）$ 的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，则C的准线方程为

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19. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$ x，则C的离心率为．

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四、解答题

20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)、求C的方程.

(2)、已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{P Q} = 9 \vec{Q F}$ ，求直线OQ斜率的最大值.

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21. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ$ =2 $\sqrt{2}$ cosθ.

(1)、将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 $\vec{AP}$ = $\sqrt{2} \vec{AM}$ ，写出 P的轨迹C₁的参数方程，并判断C与C₁是否有公共点.

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22. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 $⊙$ M与L相切，

(1)、求 $⊙$ M的方程；

(2)、设A₁ ， A₂ ， A₃ ，是C上的三个点，直线A₁ A₂ ， A₁ A₃均与 $⊙$ M相切，判断A₂A₃与 $⊙$ M的位置关系，并说明理由.

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23. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - t - t^{2} ， \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{matrix}$ (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

(1)、求| $A B$ |：

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

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24. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - t - t^{2} \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{array}$ （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

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25. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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26. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|= $\frac{4}{3}$ |AB|．

(1)、求C₁的离心率；

(2)、若C₁的四个顶点到C₂的准线距离之和为12，求C₁与C₂的标准方程．

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27. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|= $\frac{4}{3}$ |AB|.

(1)、求C₁的离心率；

(2)、设M是C₁与C₂的公共点，若|MF|=5，求C₁与C₂的标准方程.

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28. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x²+（y+4）²=1上点的距离的最小值为4.

(1)、求p；

(2)、若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 $Δ$ PAB的最大值.

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29. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $| B F | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N与BF垂直的直线交x轴于点P ．若 $M P // B F$ ，求直线l的方程．

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30. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $F_{1}$ (- $\sqrt{17}$ ，0)， $F_{2}$ ( $\sqrt{17}$ ， 0)，点M满足|MF₁|-|MF₂|=2.记M 的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、设点T在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

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