2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（2）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若直线 $2 x + y - 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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2. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到直线 $y = x + 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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4. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 $A P ， A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\vec{B A_{1}} \cdot \vec{B A_{2}} = - 1$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$

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6. 设F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点A在C上，点 $B (3 ， 0)$ ，若 $| A F | = | B F |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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7. 双曲线C的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 $F_{1}$ 作D的切线与C交于M，N两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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8. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + m$ ，当 $k$ 变化时， $l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为2，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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二、多项选择题

9. 已知O为坐标原点，过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 $M (p ， 0)$ ，若 $| A F | = | A M |$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| O B | = | O F |$ C、 $| A B | > 4 | O F |$ D、 $∠ O A M + ∠ O B M < 180 °$

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10. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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11. 已知直线 $l ： a x + b y - r^{2} = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，点 $A (a, b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B、若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C、若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D、若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

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三、填空题

12. 若双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切，则 $m =$ ．

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13. 已知双曲线 $y^{2} + \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，离心率 $e = 2$ ，则双曲线C的渐近线方程为．

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15. 已知点 $A (- 2 ， 3) ， B (0 ， a)$ ，若直线 $A B$ 关于 $y = a$ 的对称直线与圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 存在公共点，则实数a的取值范围为．

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16. 设点M在直线 $2 x + y - 1 = 0$ 上，点 $(3 ， 0)$ 和 $(0 ， 1)$ 均在 $⊙ M$ 上，则 $⊙ M$ 的方程为．

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17. 记双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为e，写出满足条件“直线 $y = 2 x$ 与C无公共点”的e的一个值．

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18. 过四点 $(0 ， 0) ， (4 ， 0) ， (- 1 ， 1) ， (4 ， 2)$ 中的三点的一个圆的方程为．

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19. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 都相切的一条直线的方程．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a b > 0) ，$ C的上顶点为A，两个焦点为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与C交于D，E两点， $| D E ∣ = 6 ，$ 则△ADE的周长是．

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，点 $M$ 为抛物线 $C$ 上的点，且 $| F M | = 6$ ，则 $M$ 的横坐标是；作 $M N ⊥ x$ 轴于 $N$ ，则 $S_{△ F M N} =$ ．

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ $(c > 0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆 ${(x - \frac{1}{2} c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.

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四、解答题

23. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 + t}{6} \\ y = \sqrt{t} \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{2 + s}{6} \\ y = - \sqrt{s} \end{array}$ （s为参数）．

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos θ - \sin θ = 0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

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24. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $A (0 ， - 2) ， B (\frac{3}{2} ， - 1)$ 两点．

(1)、求E的方程；

(2)、设过点 $P (1 ， - 2)$ 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 $\vec{M T} = \vec{T H}$ ．证明：直线HN过定点．

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25. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程：

（Ⅱ）过点 $P (- 2 ， 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B ， C$ ，直线 $A B ， A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M ， N$ ，当 $| M N | = 2$ 时，求 $k$ 的值。

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26. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $D (p ， 0)$ ，过 $F$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设直线 $M D ， N D$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $M N ， A B$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ．当 $α - β$ 取得最大值时，求直线AB的方程．

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27. 已知点A(2，1)在双曲线 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1 (a > 1)$ 上，直线 $l$ 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.

(1)、求 $l$ 的斜率；

(2)、若 $tan ∠ P A Q = 2 \sqrt{2} ，$ 求 $P A Q$ 的面积.

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28. 已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设M，N是椭圆C上的两点，直线 $M N$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2} (x > 0)$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $| M N | = \sqrt{3}$ ．

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29. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0 ， - 2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、过点P(0，-3)的直线l斜率为k ，交椭圆E于不同的两点B ， C ，直线AB ， AC交y=-3于点M、N ，直线AC交y=-3于点N ，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．

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30. 如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 $| M F | = 2$ ，

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $M A ， M B ， A B$ ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ，且 ${| R N |}^{2} = | P N | \cdot | Q N |$ ，求直线l在x轴上截距的范围.

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