2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（1）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ （）

A、7 B、6 C、5 D、4

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2. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、5

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_{2} = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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6. 设A，B为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 4)$

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7. 已知实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，则 $x - y$ 的最大值是（）

A、 $1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、4 C、 $1 + 3 \sqrt{2}$ D、7

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8. 在平面上，若曲线 $Γ$ 具有如下性质：存在点 $M$ ，使得对于任意点 $P \in Γ$ ，都有 $Q \in Γ$ 使得 $| P M | \cdot | Q M | = 1$ .则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（）.

(1)、所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.

A、(1)假命题；(2)真命题 B、(1)真命题；(2)假命题 C、(1)真命题；(2)真命题 D、(1)假命题；(2)假命题

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9. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线y=x+m与C交于点A，B两点，若 $△ F_{1} A B$ 面积是 $△ F_{2} A B$ 的 2 倍，则m=（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{5} x ， F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点A，若 $∠ F_{1} F_{2} A = \frac{π}{4}$ ，则双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{10} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

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二、多项选择题

11. 设O为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p ＞ 0 ）$ 的焦点，且与C交于M，N两点， $l$ 为C的准线，则（）

A、 $p = 2$ B、 $| M N | = \frac{8}{3}$ C、以MN为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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三、填空题

12. 已知双曲线C的焦点为 $(- 2 ， 0)$ 和 $(2 ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则C的方程为．

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13. 过原点的一条直线与圆 $C ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 3$ 相切，交曲线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于点 $P$ ，若 $| O P | = 8$ ，则 $p$ 的值为．

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14. 已知点 $A (1 ， \sqrt{5})$ 在抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 上，则A到C的准线的距离为.

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15. 已知 $x^{2} + y^{2} - 4 y - m = 0$ 的面积为 $π$ ，求 $m =$ ；

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16. 已知直线 $x - m y + 1 = 0$ 与⊙C： $（ x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\frac{8}{5}$ ”的 $m$ 的一个值

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17. 若直线 $x - y + m = 0 (m > 0)$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 相交所得的弦长为 $m$ ，则 $m =$ ．

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18. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过F且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，交双曲线的渐近线于点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ．若 $| F B | = 3 | F A |$ ，则双曲线的离心率是．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 $| M A | = | N B | ， | M N | = 2 \sqrt{3}$ ，则直线l的方程为．

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四、解答题

20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 $E$ 的左、右顶点， $| A C | = 4$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为第一象限内E上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $N$ ．求证： $M N / / C D$ ．

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21. 已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的焦点， $M ， N$ 为 $C$ 上两点，且 $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，求 $△ M F N$ 面积的最小值．

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22. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与C交于A，B两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设C的焦点为F，M，N为C上两点， $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，求 $△ M N F$ 面积的最小值．

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23. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $| A_{1} F | = 3 ， | A_{2} F | = 1$ ．

(1)、求椭圆方程及其离心率；

(2)、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} F P$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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24. 已知椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ 在C上.

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $(- 2 ， 3)$ 的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.

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25. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ 在 $C$ 上．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(- 2 ， 3)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M ， N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

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26. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ ， A为第一象限内 $Γ$ 上的一点，设点 $A$ 的纵坐标是 $a (a > 0)$ .

(1)、若 $A$ 到抛物线 $Γ$ 的准线的距离为3，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 4 ，$ B为 $x$ 轴上一点，且线段 $A B$ 的中点在 $Γ$ 上，求点 $B$ 坐标及原点O到直线 $A B$ 的距离；

(3)、设直线 $l ： x = - 3$ ， $P$ 是第一象限 $Γ$ 上异于 $A$ 的一点，直线 $P A$ 交 $l$ 于 $Q ，$ 点H是 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足“对任意点 $P$ 都有 $| H Q | > 4$ "，求 $a$ 的取值范围.

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27. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(- 2 \sqrt{5} ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $(- 4 ， 0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M$ ， $N$ 两点， $M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于 $P$ ，证明：点 $P$ 在定直线上.

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28. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 $\frac{| B F |}{| A B |} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)、直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 $| O M | = | O N |$ ，且 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．

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29. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1$ ．设A，B是椭圆上异于 $P (0 ， 1)$ 的两点，且点 $Q (0 ， \frac{1}{2})$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A ， P B$ 分别交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 于C，D两点．

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 $| C D |$ 的最小值．

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30. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 在C上，且 $x_{1} > x_{2} > 0 ， y_{1} > 0$ ．过P且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与过Q且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 $A B$ 上；② $P Q ∥ A B$ ；③ $| M A | = | M B |$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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