2019-2023高考数学真题分类汇编21 空间向量与立体几何（2）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，M ， N分别是 $A_{1} D$ ， $D_{1} B$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 垂直，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ B、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 平行，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 相交，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ D、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 异面，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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2. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）

A、20° B、40° C、50° D、90°

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3. 设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（）

A、β＜γ，a ＜γ B、β＜α，β＜γ C、β＜α，γ＜α D、α＜β ， γ＜β

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4. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD ， M是线段ED的中点，则（）

A、BM=EN ，且直线BM、EN 是相交直线 B、BM≠EN ，且直线BM ， EN 是相交直线 C、BM=EN ，且直线BM、EN 是异面直线 D、BM≠EN ，且直线BM ， EN 是异面直线

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二、多项选择题

5. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题

6. 设有下列四个命题：
p₁：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p₂：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p₃：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p₄：若直线l $\subset$ 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是.

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor \neg p_{4}$

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四、解答题

7. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P ， A P ， B C$ 的中点分别为 $D ， E ， O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、求证： $E F$ //平面 $A D O$ ；

(2)、若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积。

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8. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为AC的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面ACD；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在BD上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求三棱锥 $F - A B C$ 的体积．

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9. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $△ E A B ， △ F B C ， △ G C D ， △ H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

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10. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD $⊥$ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB $⊥$ AM.

(1)、证明：平面PAM $⊥$ 平面PBD；

(2)、若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.

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11. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形． $A B ＝ B C ＝ 2 ， E ， F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥F－EBC的体积；

(2)、已知 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明： $B F ⊥ D E$ ．

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．证明：

(1)、当 $A B = B C$ 时， $E F ⊥ A C$ ；

(2)、点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内．

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13. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别在棱 $D D_{1} ， B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．

(1)、证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，求二面角 $A - E F - A_{1}$ 的正弦值．

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14. 如图，已知三棱柱ABC–A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点．过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F．

(1)、证明：AA₁//MN，且平面A₁AMN⊥平面EB₁C₁F；

(2)、设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB₁C₁F，且∠MPN= $\frac{π}{3}$ ，求四棱锥B–EB₁C₁F的体积．

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15. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，P为 $D O$ 上一点，∠APC=90°．

(1)、证明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)、设DO= $\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} π$ ，求三棱锥P−ABC的体积.

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16. 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.

(1)、证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；

(2)、设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.

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17. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $A E$ 为底面直径， $A E = A D$ ． $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，P为 $D O$ 上一点， $P O = \frac{\sqrt{6}}{6} D O$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值．

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18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)、证明：l⊥平面PDC；

(2)、已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D ， E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1 C E = 2 ， M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

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20. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\sqrt{5}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

(1)、求直线AB与DE所成角的余弦值；

(2)、若点F在BC上，满足BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

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21. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

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22. 如图，三棱台DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．
（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．

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23. 如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2$ ， $A B = B C = A C = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $P B$ 的中点为 $M$ ， $B C$ 的中点为 $N$ ，求 $A C$ 与 $M N$ 的夹角；

(2)、求 $P - A B C$ 的体积．

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24. 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁ ，平面A₁AC₁C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点

(1)、证明：EF⊥BC

(2)、求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值.

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25. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ， $P A ⊥ C D$ ， $C D = 2 ， A D = 3$ ，

（Ⅰ）设 $G ， H$ 分别为 $P B ， A C$ 的中点，求证： $C H ∥$ 平面 $P A D$ ；

（Ⅱ）求证： $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅲ）求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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26. 如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ∥ A E ， A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B ， A B = A D = 1 ， A E = B C = 2$ .

（Ⅰ）求证： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ；

（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - B D - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长.

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27. 图1是由矩形ADEB、 $Rt △$ ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB ， BC折起使得BE与BF重合，连结DG ，如图2.

(1)、证明图2中的A ， C ， G ， D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)、求图2中的四边形ACGD的面积.

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28. 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.

(1)、证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)、求图2中的二面角B-CG-A的大小.

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29. 如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

(1)、证明：BE⊥平面EB₁C₁；

(2)、若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.

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30. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

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31. 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $∠$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求二面角A-MA₁-N的正弦值。

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32. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3。E为PD的中点，点F在PC上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ .

（I）求证：CD⊥平面PAD；
（II）求二面角F-AE-P的余弦值；
（III）设点G在PB上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。

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