2019-2023高考数学真题分类汇编21 空间向量与立体几何（1）

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 $A B = 25 m ， B C = A D = 10 m$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A、 $102 m$ B、 $112 m$ C、 $117 m$ D、 $125 m$

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3. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $150 °$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， A C = A A_{1}$ ，E，F分别是棱 $B C ， A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30 °$ ，则（）

A、 $A B = 2 A D$ B、AB与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30 °$ C、 $A C = C B_{1}$ D、 $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45 °$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} A C$ D、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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二、多项选择题

7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ，$ 则（）

A、直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ B、直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ C、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $45^{\circ}$

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三、解答题

8. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = B C = 1 ， P C = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面PAB；

(2)、求二面角 $A - P C - B$ 的大小．

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9. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C ， ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B ， A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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10. 三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 面 $A B C ， A B ⊥ A C ， A B = A C = A A_{1} = 2 ， A_{1} C_{1} = 1$ ， $M ， N$ 分别是 $B C ， B A$ 中点.

(1)、求证： $A_{1} N$ //平面 $C_{1} M A$ ；

(2)、求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

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11. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， $A D = \sqrt{5} D O$ ，点F在AC上， $B F ⊥ A O$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A D O$ ；

(2)、证明：平面 $A D O ⊥$ 平面BEF；

(3)、求二面角 $D - A O - C$ 的正弦值.

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12. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， A B ∥ D C ， A B ⊥ A D ， A B = 2 ， A D = 3 ， D C = 4$ .

(1)、求证： $A_{1} B ∥$ 面 $D C C_{1} D_{1}$ ；

(2)、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为36，求二面角 $A_{1} - B D - A$ 的大小.

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13. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A = D B = D C ， B D ⊥ C D ， ∠ A D B = ∠ A D C =$ 60°，E为BC中点.

(1)、证明： $B C ⊥ D A$

(2)、点F满足 $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，求二面角D-AB-F的正弦值.

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14. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2 ， A A_{1} ⊥ A B ， A C ⊥ A B$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，E为 $A A_{1}$ 的中点，F为 $C D$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成二面角的余弦值．

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15. 如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $D C ∥ E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E ， B C$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $F N ⊥ A D$ ；

（Ⅱ）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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16. 如图， $P O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的高， $P A = P B$ ， $A B ⊥ A C$ ，E是 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $O E ∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $∠ A B O = ∠ C B O = 30 °$ ， $P O = 3$ ， $P A = 5$ ，求二面角 $C - A E - B$ 的正弦值．

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17. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D ， C D ∥ A B ， A D = D C = C B = 1 ， A B = 2 ， D P = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、求PD与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

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18. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A B = B C = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A C$ 的中点．

（I）求证： $M N //$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值。

条件①： $A B ⊥ M N$ ；

条件②： $B M = M N$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ '的面积为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求A到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B ，$ 平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1} ，$ 求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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21. 在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D = 2 ， Q D = Q A = \sqrt{5} ， Q C = 3$ ．

(1)、证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - Q D - A$ 的平面角的余弦值．

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22. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $C D E$ 于点 $F$ ．

(1)、证明：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；

(2)、若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M - C F - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．

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23. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 120 ° ， A B = 1 ， B C = 4 ， P A = \sqrt{15}$ ，M ， N分别为 $B C ， P C$ 的中点， $P D ⊥ D C ， P M ⊥ M D$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P M$ ；

(2)、求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值.

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24. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁.中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF丄A₁B₁.

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当为B₁D何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

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25. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

(1)、求BC；

(2)、求二面角A-PM-B的正弦值。

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26. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

(1)、求证： $D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正正弦值．

(3)、求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值．

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27. 如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.

(1)、证明：OA⊥CD：

(2)、若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

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