2019-2023高考数学真题分类汇编18 等差、等比数列综合

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + \sqrt{a_{n}}} (n \in N^{*})$ .记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{3}{2} < S_{100} < 3$ B、 $3 < S_{100} < 4$ C、 $4 < S_{100} < \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2} < S_{100} < 5$

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二、填空题

2. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ${a_{n}}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 12 ， a_{9} = 192$ ，则 $a_{7} =$ ；数列 ${a_{n}}$ 所有项的和为．

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3. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}的前n项和为．

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4. 设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．已知数列{a_n+b_n}的前n项和 $S_{n} = n^{2} - n + 2^{n} - 1 (n \in N^{+})$ ，则d+q的值是．

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三、解答题

5. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} + a_{5} = 16 ， a_{5} - a_{3} = 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式和 $\sum_{i = 2^{n - 1}}^{2^{n} - 1} a_{i}$ ．

(2)、已知 ${b_{n}}$ 为等比数列，对于任意 $k \in N^{*}$ ，若 $2^{k - 1} \leq n \leq 2^{k} - 1$ ，则 $b_{k} < a_{n} < b_{k + 1}$ ，
（Ⅰ）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k} - 1 < b_{k} < 2^{k} + 1$ ；

（Ⅱ）求 ${b_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和．

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - 1$ ，公差 $d > 1$ ．记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）若 $S_{4} - 2 a_{2} a_{3} + 6 = 0$ ，求 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）若对于每个 $n \in N^{*}$ ，存在实数 $c_{n}$ ，使 $a_{n} + c_{n} ， a_{n + 1} + 4 c_{n} ， a_{n + 2} + 15 c_{n}$ 成等比数列，求d的取值范围．

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7. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 ${k | b_{k} = a_{m} + a_{1} ， 1 \leq m \leq 500}$ 中元素个数．

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8. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4} ， a_{7} ， a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - \frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n + 1} = 3 S_{n} - 9$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $3 b_{n} + (n - 4) a_{n} = 0$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ b_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的范围.

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10. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，已知 $a_{1}$ ，3 $a_{2}$ ，9 $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和.证明： $T_{n}$ < $\frac{S_{n}}{2}$ .

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11. 设等比数列{a_n}满足 $a_{1} + a_{2} = 4$ ， $a_{3} - a_{1} = 8$ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列{log₃a_n}的前n项和．若 $S_{m} + S_{m +}_{1} = S_{m}_{+ 3}$ ，求m．

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12. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{4} = 15$ ，求 $S_{n}$ ；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $\lim_{x \to \infty} s_{n} < 12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

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14. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=4.a₄=S₃ ，数列{b_n}满足：
对每个n∈N^* ， S_n+b_n ， S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比数列

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式

(2)、记C_n= $\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}$ ，n∈N^* ，证明：C₁+C₂+…+C_n＜2 $\sqrt{n}$ ，n∈N^*

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15. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{matrix} 1, n 为奇数 \\ b_{\frac{n}{2}}, n 为偶数 \end{matrix}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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16. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ 。

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和。

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17. 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $4 a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} + 4$ ， $4 b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} - 4$ .

(1)、证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}和{b_n}的通项公式.

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18. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $(S_{n + 1} + a_{n + 1}) b_{n} = S_{n + 1} b_{n + 1} - S_{n} b_{n}$ ；

(3)、求 $\sum_{k = 1}^{2 n} [a_{k + 1} - (- 1)^{k} a_{k}] b_{k}$ ．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4 ， b_{3} - b_{2} = 48$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}} ， n \in N^{*}$ .
（i）证明 ${c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 是等比数列；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和．

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21. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的首项a₁=1，前n项和为S_n ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 $S_{n + 1}^{\frac{1}{k}} - S_{n}^{\frac{1}{k}} = λ a_{n + 1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“λ–k”数列．

(1)、若等差数列 ${a_{n}}$ 是“λ–1”数列，求λ的值；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是“ $\frac{\sqrt{3}}{3} - 2$ ”数列，且a_n＞0，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 ${a_{n}}$ 为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

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22. 已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中，a₁＝b₁＝c₁＝1，c_n+1＝a_n+1﹣a_n ， c_n+1＝ $\frac{b_{n}}{b_{n + 2}}$ •c_n（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比q＞0，且b₁+b₂＝6b₃ ，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，证明：c₁+c₂+…+c_n＜1+ $\frac{1}{d}$ ．

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23. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \in (0 ， π]$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，集合 $S = {x | x = b_{n} ， n \in N^{*}}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 0 ， d = \frac{2 π}{3}$ ，求集合 $S$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{π}{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

(3)、若集合 $S$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

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24. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列.已知 $a_{1} = 4, b_{1} = 6 ， b_{2} = 2 a_{2} - 2, b_{3} = 2 a_{3} + 4$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = {\begin{array}{l} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1}, \\ b_{k}, n = 2^{k}, \end{array}$ 其中 $k \in N^{*}$ .

（i）求数列 ${a_{2^{n}} (c_{2^{n}} - 1)}$ 的通项公式；

（ii）求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ .

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