2019-2023高考数学真题分类汇编17 数列递推及求和、数学归纳法

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{3} a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $2 < 100 a_{100} < \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2} < 100 a_{100} < 3$ C、 $3 < 100 a_{100} < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} < 100 a_{100} < 4$

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2. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1 + \frac{1}{α_{1}}$ ， $b_{2} = 1 + \frac{1}{α_{1} + \frac{1}{α_{2}}}$ ， $b_{3} = 1 + \frac{1}{α_{1} + \frac{1}{α_{2} + \frac{1}{α_{3}}}}$ ，…，依此类推，其中 $α_{k} \in N^{*} (k = 1 ， 2 ， \dots)$ ．则（）

A、 $b_{1} < b_{5}$ B、 $b_{3} < b_{8}$ C、 $b_{6} < b_{2}$ D、 $b_{4} < b_{7}$

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3. 设a，b∈R ，数列{a_n}，满足a₁ =a，a_n+1= a_n²+b，b∈N^* ，则（）

A、当b= $\frac{1}{2}$ 时，a₁₀>10 B、当b= $\frac{1}{4}$ 时，a₁₀>10 C、当b=-2时，a₁₀>10 D、当b=-4时，a₁₀>10

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4. 已知数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = {\begin{cases} a_{n} + 1, n 为奇数 \\ \frac{1}{2} a_{n}, n 为偶数 \end{cases}$ (n∈N)，若2≤a₁₀≤3，则a₁的取值范围是（）

A、1≤a₁≤10 B、1≤a₁≤17 C、2≤a₁≤3 D、2≤a₁≤6

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二、填空题

5. 已知数列{a_n}满足a_n＝ $\frac{n (n + 1)}{2}$ ，则S₃＝．

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6. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 3 n - 1$ ，前16项和为540，则 $a_{1} =$ .

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} \cdot S_{n} = 9 (n = 1 ， 2 ， \dots)$ 给出下列四个结论：
① ${a_{n}}$ 的第2项小于3； ② ${a_{n}}$ 为等比数列；

③ ${a_{n}}$ 为递减数列； ④ ${a_{n}}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项。

其中所有正确结论的序号是．

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8. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和 S₁ =240 dm² ，对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和 S₂=180dm²。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么 $\sum_{k = 1}^{n} s_{k}$ =dm.

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三、解答题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ，设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $2 S_{n} = n a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} + 1}{2^{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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10. 已知 $Q ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 为有穷整数数列．给定正整数 $m$ ，若对任意的 $n \in {1 ， 2 ， \dots ， m}$ ，在 $Q$ 中存在 $a_{1} ， a_{i + 1} ， a_{i + 2} ， \dots ， a_{i + j} (j ⩾ 0)$ ，使得 $a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \dots + a_{i + j} = n$ ，则称 $Q$ 为 $m -$ 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 $Q ： 2 ， 1 ， 4$ 是否为5-连续可表数列？是否为 $6 -$ 连续可表数列？说明理由；

（Ⅱ）若 $Q ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 为 $8 -$ 连续可表数列，求证： $k$ 的最小值为4；

（Ⅲ）若 $Q ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 为 $20 -$ 连续可表数列， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} < 20$ ，求证： $k \geq 7$ ．

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11. 设数列{a_n}满足a₁=3， $a_{n}_{+ 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ．

(1)、计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)、求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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12. 设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① $a_{1} + p \geq 0$ ， $a_{2} + p = 0$ ；
② $a_{4 n - 1} < a_{4 n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ；
③ $a_{m + n} \in {a_{m} + a_{n} + p ， a_{m} + a_{n} + p + 1}$ （m=1，2，…；n=1，2，…）．

(1)、如果数列{a_n}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a_n}是否可以为 $R_{2}$ 数列？说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ ；

(3)、设数列{a_n}的前n项和为S_n ，是否存在 $R_{p}$ 数列 ${a_{n}}$ ，对 $S_{n} \geq S_{10}$ 恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

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13. 已知 ${a_{n}}$ 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 ${a_{n}}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j} (i > j)$ ，在 ${a_{n}}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}} = a_{m}$ ；

②对于 ${a_{n}}$ 中任意项 $a_{n} (n ⩾ 3)$ ，在 ${a_{n}}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l} (k > l)$ ．使得 $a_{n} = \frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．

(Ⅰ)若 $a_{n} = n (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_{n} = 2^{n - 1} (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 ${a_{n}}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： ${a_{n}}$ 为等比数列.

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14. 已知数列{a_n}，从中选取第i₁项、第i₂项…第i_m项（i₁<i₂<…<i_m）.若a_i1<a_i2<…<a_im.则称新数列a_i1 ， a_i2 ， …，a_im.为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.
（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{a_n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a_m0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为a_n0 ，若p<q，求证：a_m0<a_n0；
（III）设无穷数列{a_n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a_n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2^s-1个（s=1.2.…），求数列{a_n}的通项公式。

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