2019-2023高考数学真题分类汇编16 等比数列

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2} ＝ 4 ， S_{4} ＝ 6$ ，则 $S_{6} ＝$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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2. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、30

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、3 B、18 C、54 D、152

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4. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{4} = - 5 ， S_{6} = 21 S_{2} ，$ 则 $S_{8} =$ （）

A、120 B、85 C、-85 D、 $-$ 120

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为168， $a_{2} - a_{5} = 42$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、14 B、12 C、6 D、3

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6. 已知 $a, b \in R, a b > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + b (x \in R)$ .若 $f (s - t), f (s), f (s + t)$ 成等比数列，则平面上点 $(s, t)$ 的轨迹是（）

A、直线和圆 B、直线和椭圆 C、直线和双曲线 D、直线和抛物线

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7. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若a₅–a₃=12，a₆–a₄=24，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ =（）

A、2ⁿ–1 B、2–2¹^–ⁿ C、2–2ⁿ^–¹ D、2¹^–ⁿ–1

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8. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8} =$ （）

A、12 B、24 C、30 D、32

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9. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = 2^{15} - 2^{5}$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前4项和为15，且a₅=3a₃+4a₁ ，则a₃=（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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11. 古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A、165cm B、175cm C、185cm D、190cm

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12. 通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1025}$ 的值是（）

A、6 B、12 C、18 D、108

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二、填空题

13. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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14. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{2} a_{4} a_{5} = a_{3} a_{6}$ ， $a_{9} a_{10} = - 8$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 3 ， q = 2$ ，求 $s_{6} =$ ；

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16. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和。若a₁= $\frac{1}{3}$ ， $S_{3} = \frac{3}{4}$ _，则S₄=

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17. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和。若a₁= $\frac{1}{3}$ ， $a_{4}^{2} = 6$ _，则S₅=

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18. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N*)，首项a₁=3，公比q=2，则a₄=; S₃= ．

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三、解答题

19. 已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ .

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20. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 ${b_{m}}$ 的前100项和 $S_{100}$ ．

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21. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

(1)、已知等比数列{a_n} $(n \in N^{*})$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5} ， a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{4} = 0$ ，求证：数列{a_n}为“M－数列”；

(2)、已知数列{b_n}满足： $b_{1} = 1 ， \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{b_{n}} - \frac{2}{b_{n + 1}}$ ，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{c_n} $(n \in N^{*})$ ，对任意正整数k ，当k≤m时，都有 $c_{k} ⩽ b_{k} ⩽ c_{k + 1}$ 成立，求m的最大值．

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