2019-2023高考数学真题分类汇编14 平面向量运算及其应用

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， 2)$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 在 $A B C$ 中，点D在边AB上， $B D = 2 D A .$ 记 $\vec{C A} = \vec{m} ， \vec{C D} = \vec{n} ，$ 则 $\vec{C B} =$ （）

A、3 $\vec{m}$ -2 $\vec{n}$ B、-2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$ C、3 $\vec{m}$ +2 $\vec{n}$ D、2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，3）， $\vec{b}$ =（3，2），则| $\vec{a}$ - $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、5 $\sqrt{2}$ D、50

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2 ， 3) ， \vec{a} - \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} |^{2} - | \vec{b} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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5. 向量 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 正方形 $A B C D$ 的边长是2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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7. 已知 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (1 ， 0) ， \vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}$ ，若 $< \vec{a} ， \vec{c} > = < \vec{b} ， \vec{c} >$ ，则 $t =$ （）

A、-6 B、-5 C、5 D、6

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8. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 已知向量 $a ， b$ 满足 $| a | = 1 ， | b | = \sqrt{3} ， | a - 2 b | = 3$ ，则 $a \cdot b =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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10. 已知向量a，b满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\cos ⟨ \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{19}{35}$

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11. 已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）

A、a+2b B、2a+b C、a–2b D、2a–b

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12. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 6)$ B、 $(- 6 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 6)$

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13. 已知 $\vec{A B}$ =(2,3)， $\vec{A C}$ =(3，t)，| $\vec{B C}$ |=1，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、填空题

15. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， 2)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ；

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16. 设向量 $a$ ， $b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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17. 已知向量 $a = (m ， 3) ， b = (1 ， m + 1)$ ．若 $a ⊥ b$ ，则 $m =$ ．

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18. $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ， $\vec{c} = (0, 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ； $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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19. 已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则λ=.

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20. 已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， $c = a + kb$ ，若a⊥c，则k=。

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21. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，3），b=（3，4），若（ $\vec{a}$ -λ $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则λ=。

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22. 设向量 $a = (1, - 1), b = (m + 1, 2 m - 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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23. 已知向量 $\vec{a}$ =（-4.3）， $\vec{b}$ =（6，m），且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则m=.

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24. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | ，则 | \vec{b} | =$

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25. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = | \vec{c} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ ．

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26. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, (\vec{c} \neq 0)$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ .记向量 $\vec{d}$ 在 $\vec{a}, \vec{b}$ 方向上的投影分别为x ， y ， $\vec{d} - \vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影为z ，则 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值为.

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27. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝3，| $\vec{a} － \vec{b}$ |＝5， $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ ＝1，则| $\vec{b}$ |＝．

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28. 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=.

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29. 设 $a, b$ 为单位向量，且 $| a + b | = 1$ ，则 $| a - b | =$ .

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30. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为单位向量，满足|2 $\vec{e_{1}}$ ﹣ $\vec{e_{2}}$ |≤ $\sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ ＝ $\vec{e_{1}}$ + $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{b}$ ＝3 $\vec{e_{1}}$ + $\vec{e_{2}}$ ，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为θ，则cos²θ的最小值为．

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31. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2) \vec{, b} = (- 8, 6)$ ，则 $\cos < \vec{a}, \vec{b} > =$ .

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32. 已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- $\sqrt{5}$ b，则cos<a，c>=。

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33. 已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=4，且a与b不共线若a+kb与a-kb互相垂直，则实数k= ．

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