2019-2023高考数学真题分类汇编13 正弦定理、余弦定理、三角形几何计算

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B ＝ 120^{\circ} ， A C ＝ \sqrt{19} ， A B ＝ 2$ ，则 $B C ＝$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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2. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $(a + c) (s i n A - s i n C) = b (s i n A - s i n B)$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 $∠ A^{'} C^{'} B = 45 ° ， ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ .由c点测得B点的仰角为15°，曲， $B B^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高度差 $A A^{'} - C C^{'}$ 约为（） $（ \sqrt{3} \approx 1.732 ）$

A、346 B、373 C、446 D、473

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5. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（）.

A、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} + 表高$ B、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} - 表高$ C、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} + 表距$ D、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} - 表距$

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6. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA= $- \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}$ =（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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二、填空题

7. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{3} ， c = 2$ ，则该三角形的面积 $S =$ ．

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8. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 $S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 ° ， A B = 2$ ，M是 $B C$ 的中点， $A M = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A C =$ ， $\cos ∠ M A C =$ .

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10. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 $\sqrt{3}$ ，B=60°，a²+c²=3ac，则b=.

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60 ° ， B C = \sqrt{6}$ ， D为BC上一点，AD为 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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12. 如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， $A B = A D = \sqrt{3}$ ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $3 \sin A = 2 \sin B$ ，且 $\cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $A B =$ ．

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14. 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD=.COS∠ABD=

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15. △ABC的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，知 $b s i n A + a c o s B = 0$ ，则 $B$ =

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16. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $b = 6, a = 2 c, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17. 我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261)被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角B形面积的公式，就是S= $\sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，现如图，已知平面四边形ABCD中，AD=1，AC= $\sqrt{3}$ ，∠ADC=120°，AB= $\sqrt{2}$ ，BC=2，则平面四边形ABCD的面积是。

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中， $\sin 2 C = \sqrt{3} \sin C$ ．
（I）求 $∠ C$ ：

（II）若 $b = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分別是 $a ， b ， c$ ．已知 $a = \sqrt{39} ， b = 2 ， ∠ A = 12 0^{∘}$ ．

(1)、求 $s i n B$ 的值；

(2)、求 $c$ 的值；

(3)、求 $s i n (B - C)$ ．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 $4 a = \sqrt{5} c ， \cos C = \frac{3}{5}$ ．

（Ⅰ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅱ）若 $b = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 记 $△ A B C$ 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sin B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求b．

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22. 已知在 $△ A B C$ 中， $c = 2 b \cos B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并求出 $B C$ 边上的中线的长度．
① $c = \sqrt{2} b$ ；②周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；③面积为 $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；

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23. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c，已知 $b^{2}$ =ac，点D在边AC 上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)、证明：BD = b：

(2)、若AD = 2DC .求cos∠ABC.

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24. $△ A B C$ 中，sin²A－sin²B－sin²C=sinBsinC．

(1)、求A；

(2)、若BC=3，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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25. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．

(1)、若a=3c ， b= $\sqrt{2}$ ，cosB= $\frac{2}{3}$ ，求c的值；

(2)、若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin (B + \frac{π}{2})$ 的值．

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26. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$

(1)、求B；

(2)、若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

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27. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC。

(1)、求A；

(2)、若 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ,求sinC.

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