2019-2023高考数学真题分类汇编12 简单逻辑用语、基本不等式、不等式

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. “ $x$ 为整数”是“ $2 x + 1$ 为整数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知 $f (x)$ 是定义在上 $[0, 1]$ 的函数，那么“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增”是“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为 $f (1)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题p： $\exists$ x∈R，sinx＜1；命题q： $\forall$ x∈R， e^|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）

A、p $\land$ q B、 $\neg$ p $\land$ q C、p $\land \neg$ q D、 $\neg$ (pVq)

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4. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 6$ ”是“ $a^{2} > 36$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不允分也不必要条件

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5. 若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. “ $a^{2} = b^{2}$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 若 $x y \neq 0$ ，则“ $x + y = 0$ ”是“ $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $| a | > | b |$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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10. 记不等式组 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 6 ， \\ 2 x - y \geq 0 \end{array}$ 表示的平面区域为D.命题 $p ： \exists (x ， y) \in D ， 2 x + y ⩾ 9$ ；命题 $q ： \forall (x ， y) \in D ， 2 x + y ⩽ 12$ .下面给出了四个命题（   ）
① $p \lor q$                 ② $\neg p \lor q$             ③ $p \land \neg q$             ④ $\neg p \land \neg q$

这四个命题中，所有真命题的编号是（   ）

A、①③ B、①② C、②③ D、③④

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11. 设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）

A、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ） B、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ） C、 $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}） D、 $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）

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12. 设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13. 一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（）

A、{x|x<0或x>9} B、{x|0<x<9} C、{x|x<-9或x>0} D、{x|-9<x<0}

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14. 已知x，y是实数，则“x+y≤1”是“x≤ $\frac{1}{2}$ 或y≤ $\frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多项选择题

15. 对任意x，y， $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ ，则（）

A、 $x + y \leq 1$ B、 $x + y \geq - 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 2$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 1$

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16. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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三、填空题

17. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为．

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18. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

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19. 设 $x \in R$ ，使不等式 $3 x^{2} + x - 2 < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为.

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20. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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21. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

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22. 如图，已知正方形 $O A B C$ ，其中 $O A = a (a > 1)$ ，函数 $y = 3 x^{2}$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，函数 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，当 $| A Q | + | C P |$ 最小时，则 $a$ 的值为．

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23. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{x y}$ 的最小值为.

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24. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为.

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四、解答题

25. 已知a，b，c都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ；

(2)、 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ．

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26. 已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

(1)、当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

(2)、若f（x）≥-a，求a的取值范围.

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27. 设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)、证明：ab+bc+ca<0；

(2)、用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

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