【备考2024】广西数学中考十年回顾6 探索数、式、图的规律

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（）

A、499 B、500 C、501 D、1002

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2. 定义一种运算： $a * b = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，则不等式 $(2 x + 1) * (2 - x) > 3$ 的解集是（）

A、 $x > 1$ 或 $x < \frac{1}{3}$ B、 $- 1 < x < \frac{1}{3}$ C、 $x > 1$ 或 $x < - 1$ D、 $x > \frac{1}{3}$ 或 $x < - 1$

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3. 观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用 $Y_{n}$ 表示，则 $Y_{9} - Y_{4} =$ （）

A、 $15 \times 2^{4}$ B、 $31 \times 2^{4}$ C、 $33 \times 2^{4}$ D、 $63 \times 2^{4}$

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4. 定义：形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i²=-1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.例如(1+3i)²=1²+2×1×3i+(3i)²=1+6i+9i²=1+6i-9=-8+6i，因此，(1+3i)²的实部是-8，虚部是6.已知复数(3-mi)²的虚部是12，则实部是（）

A、-6 B、6 C、5 D、-5

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5. 计算 $\frac{1}{1 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 5}$ + $\frac{1}{5 \times 7}$ + $\frac{1}{7 \times 9}$ +…+ $\frac{1}{37 \times 39}$ 的结果是（）

A、 $\frac{19}{37}$ B、 $\frac{19}{39}$ C、 $\frac{37}{39}$ D、 $\frac{38}{39}$

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6. 定义新运算：p⊕q＝ ${\begin{matrix} \frac{p}{q} (q > 0) \\ - \frac{p}{q} (q < 0) \end{matrix}$ ，例如：3⊕5＝ $\frac{3}{5}$ ，3⊕（﹣5）＝ $\frac{3}{5}$ ，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b= ${\begin{matrix} a (a > b) \\ b (a \leq b) \end{matrix}$ ，则函数y=x²∅（2﹣x）的最小值是（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、4

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8. 按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（）

A、9999 B、10000 C、10001 D、10002

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9. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）

A、（ $\sqrt{2}$ ）^n﹣1 B、2ⁿ^﹣1 C、（ $\sqrt{2}$ ）ⁿ D、2ⁿ

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10. 观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）

A、﹣121 B、﹣100 C、100 D、121

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11. 将一组数 $\sqrt{2}$ ，2， $\sqrt{6}$ ，2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ，…，2 $\sqrt{10}$ ，按下列方式进行排列：
$\sqrt{2}$ ，2， $\sqrt{6}$ ，2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ；
2 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{14}$ ，4，3 $\sqrt{2}$ ，2 $\sqrt{5}$ ；
…
若2的位置记为（1，2），2 $\sqrt{3}$ 的位置记为（2，1），则 $\sqrt{38}$ 这个数的位置记为（）

A、（5，4） B、（4，4） C、（4，5） D、（3，5）

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12. 一列数a₁ ， a₂ ， a₃ ， …，其中a₁= $\frac{1}{2}$ ，a_n= $\frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ （n为不小于2的整数），则a₁₀₀=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、﹣1 D、﹣2

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13. 2⁶¹⁵个位上的数字是（　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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14.
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃ ， …在x轴上，点B₁、B₂、B₃ ， …在直线l上．若△OB₁A₁ ， △A₁B₂A₂ ， △A₂B₃A₃ ， …均为等边三角形，则△A₅B₆A₆的周长是（　　）

A、24 $\sqrt{3}$ B、48 $\sqrt{3}$ C、96 $\sqrt{3}$ D、192 $\sqrt{3}$

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15. 直线y=kx+k（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S_k ，当k分别为1，2，3，…，199，200时，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₉₉+S₂₀₀=（　　）

A、10000 B、10050 C、10100 D、10150

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16.
如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）

A、（﹣1，0） B、（1，﹣2） C、（1，1） D、（﹣1，﹣1）

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17.
相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外．移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山．
设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时，h（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小盘从2柱→3柱，完成．即h（2）=3；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱．[即用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成；
我们没有时间去移64个盘子，但你可由以上移动过程的规律，计算n=6时，h（6）=（）

A、11 B、31 C、63 D、127

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18. 如 $M = {1 ， 2 ， x}$ ，我们叫集合 $M$ ，其中1，2， $x$ 叫做集合 $M$ 的元素.集合中的元素具有确定性（如 $x$ 必然存在），互异性（如 $x \neq 1$ ， $x \neq 2$ ），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合 $N = {x ， 1 ， 2}$ ，我们说 $M = N$ .已知集合 $A = {1 ， 0 ， a}$ ，集合 $B = {\frac{1}{a} ， | a | ， \frac{b}{a}}$ ，若 $A = B$ ，则 $b - a$ 的值是（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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二、填空题

19. 我们规定：若 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1}) ， \vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .例如 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ .已知 $\vec{a} = (x + 1 ， x - 1) ， \vec{b} = (x - 3 ， 4)$ ，且 $- 2 ⩽ x ⩽ 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值是.

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20. 如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A₁（2，1），A₂（3，2），A₃（4，3），A₄（5，4），…，A_n（n+1，n），构成形如 ”的图形的阴影部分面积分别表示为S₁ ， S₂ ， S₃ ， …，S_n ，则S₂₀₂₁＝.

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21. 如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形.第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有个菱形.

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22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是.

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23. 观察一列数： $- 3$ ，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是.

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24. a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ， a₅ ， a₆ ， …，是一列数，已知第1个数a₁=4，第5个数a₅=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a₂₀₁₉的值是.

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25. 观察以下一列数：3， $\frac{5}{4}$ ， $\frac{7}{9}$ ， $\frac{9}{16}$ ， $\frac{11}{25}$ ，…则第20个数是．

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26. 将从1开始的连续自然数按右图规律排列：
规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）......按此规律，自然数2018记为

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27. 如图，直线l为y= $\sqrt{3}$ x，过点A₁（1，0）作A₁B₁⊥x轴，与直线l交于点B₁ ，以原点O为圆心，OB₁长为半径画圆弧交x轴于点A₂；再作A₂B₂⊥x轴，交直线l于点B₂ ，以原点O为圆心，OB₂长为半径画圆弧交x轴于点A₃；……，按此作法进行下去，则点A_n的坐标为（）．

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28. 将从1开始的连续自然数按一下规律排列：
第1行

1

第2行

2
3
4

第3行

9
8
7
6
5

第4行

10
11
12
13
14
15
16

第5行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…
则2017在第行．

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29. 有这样一组数据a₁ ， a₂ ， a₃ ， …a_n ，满足以下规律： $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}} ， a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}} ， ... ， a_{n} = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ （n≥2且n为正整数），则a₂₀₁₃的值为（结果用数字表示）．

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30.
如图是三种化合物的结构式及分子式．请按其规律，写出后面第2013种化合物的分子式．

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31.
如图，下列图案都是由小正方形组成的，它们形成矩形的个数是有规律的：第（1）个图案中，矩形的个数是1个；第（2）个图案中，矩形的个数是4个；…第（25）个图案中，矩形的个数是个．

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32. 甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是分．

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33. 观察下列运算：8¹=8，8²=64，8³=512，8⁴=4096，8⁵=32768，8⁶=262144，…，则8¹+8²+8³+8⁴+…+8²⁰¹⁴的和的个位数字是．

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34. 已知点A₁（a₁ ， a₂），A₂（a₂ ， a₃），A₃（a₃ ， a₄）…，A_n（a_n ， a_n₊₁）（n为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若a₁=2，则a₂₀₁₄= ．

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35. 观察以下等式：3²﹣1²=8，5²﹣1²=24，7²﹣1²=48，9²﹣1²=80，…由以上规律可以得出第n个等式为．

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36.
如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要个铜币．

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37.
观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．

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38. 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如 $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{6}$ ； $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{12}$ ； $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{20}$ ；…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数 $\frac{1}{n}$ （n是不小于2的正整数）= $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，那么a+b= ．（用含n的式子表示）

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39.
如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为．

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40. 如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有个点．

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第1行					1
第2行				2	3	4
第3行			9	8	7	6	5
第4行		10	11	12	13	14	15	16
第5行	25	24	23	22	21	20	19	18	17