2019-2023高考数学真题分类汇编5 函数的单调性、奇偶性、周期性

试卷更新日期：2023-09-02 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列函数中是增函数的为（）

A、 $f (x) ＝ - x$ B、 $f (x) ＝ {(\frac{2}{3})}^{x}$ C、 $f (x) ＝ x^{2}$ D、 $f (x) ＝ \sqrt[3]{x}$

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2. 设函数f(x)= $\frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、f(x-1)-1 B、f(x-1)+1 C、f(x+1)-1 D、f(x+1)+1

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3. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - l n x$ B、 $f (x) = \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 3^{| x - 1 |}$

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4. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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6. 若函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y) ， f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-3 B、-2 C、0 D、1

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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8. 设函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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9. 设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 $f (- \frac{1}{3}) ＝ \frac{1}{3} ，则 f (\frac{5}{3}) ＝$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10. 设函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x^{3}}$ ,则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B、是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C、是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D、是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

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11. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递减

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12. 若 $2^{a} + \log_{2} a = 4^{b} + 2 \log_{4} b$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b^{2}$ D、 $a < b^{2}$

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13. 若定义在R的奇函数f(x)在 $(- \infty ， 0)$ 单调递减，且f(2)=0，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 1] \cup [0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， 3]$

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14. 设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= $e^{x}$ -1，则当x<0时，f（x）=（）

A、 $e^{- x}$ -1 B、 $e^{- x}$ +1 C、- $e^{- x}$ -1 D、- $e^{- x}$ +1

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15. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、y=2^-x C、 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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16. 函数 $f (x) = \cos x - \cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值（）

A、奇函数，最大值为2 B、偶函数，最大值为2 C、奇函数，最大值为 $\frac{9}{8}$ D、偶函数，最大值为 $\frac{9}{8}$

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17. 已知函数 $f (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$ ．记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}) ， b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}) ， c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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18. 设函数f(x)的定义域为R ， f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (0) + f (3) = 6$ ,则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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19. 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数      ②f(x)在区间 $（ \frac{π}{2} ， π ）$ 单调递增

③f(x)在[-π，π]有4个零点          ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（   ）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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二、填空题

20. 已知函数f(x)= $x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则a=

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21. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ，则f(-8)的值是.

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22. 若 $f (x) = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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23. 若 $y = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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24. 若 $f (x) = \ln | a + \frac{1}{1 - x} | + b$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ ．

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25. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ .若 $f (\ln 2) = 8$ ，则 $a =$ .

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26. 设函数f（x）=e^x+ae^-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a=：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是.

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27. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < - a ， \\ \sqrt{a^{2} - x^{2}} ， - a \leq x \leq a ， \\ - \sqrt{x} - 1 ， x > a . \end{array}$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在区间 $(a - 1 ， + \infty)$ 上单调递减；

②当 $a \geq 1$ 时， $f (x)$ 存在最大值；

③设 $M (x_{1} ， f (x_{1})) (x_{1} \leq a) ， N (x_{2} ， f (x_{2})) (x_{2} > a)$ ，则 $| M N | > 1$ ；

④设 $P (x_{3} ， f (x_{3})) (x_{3} < - a) ， Q (x_{4} ， f (x_{4})) (x_{4} \geq - a)$ ．若 $| P Q |$ 存在最小值，则a的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{2}]$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

28. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + (3 a + 1) x + c}{x + a} (a ， c \in R)$

(1)、当 $a = 0$ 是，是否存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 3)$ ，且 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴负半轴有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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29. 设a∈R，已知函数f(x)= ${\begin{cases} a x^{2} + (2 a - 4) x + 2, x \leq 0, \\ \frac{1}{x} + a + | x - 1 |, x > 0 \end{cases}$
(Ⅰ)当a=1时，写出f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)对任意x≤2，不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立，求实数a的取值范围．

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