2019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（3）

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若α为第四象限角，则（）

A、cos2α>0 B、cos2α<0 C、sin2α>0 D、sin2α<0

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2. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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3. 设函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $[- π，π]$ 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）

A、 $\frac{10 π}{9}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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5. 已知 $α, β \in R$ ，则“存在 $k \in Z$ 使得 $α = k π + {(- 1)}^{k} β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)$ 是奇函数，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .若 $g (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$ （）

A、-2 B、- $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)$ 是奇函数，将 $y = f (x)$ 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 $g (x)$ .若 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，且 $g (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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8. 设函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{5}$ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， $\frac{π}{10}$ ）单调递增④ω的取值范围[ $\frac{12}{5}$ ， $\frac{29}{10}$ ）其中所有正确结论的编号是（）

A、①④ B、②③ C、①②③ D、①③④

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9. 若 $x_{1} = \frac{π}{4}$ ， $x_{2} = \frac{3 π}{4}$ 是函数f（x）= sinωx（ω>0）两个相邻的极值点，则ω（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ )单调递增的是（）

A、f(x)=│cos2x│ B、f(x)=│sin 2x│ C、f(x)=cos│x│ D、f(x)= sin│x│

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11. 已知α∈(0, $\frac{π}{2}$ )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）

A、4β+4cosβ B、4β+4sinβ C、2β+2cosβ D、2β+2sinβ

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13. cos² $\frac{π}{8}$ -sin² $\frac{π}{8}$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

14. 已知O为坐标原点，点P₁(cosα,sinα),P₂(cosβ，-sinβ),P₃(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（）

A、| $\vec{{OP}_{1}} |$ = $\vec{| {OP}_{2}} |$ B、 $| \vec{{AP}_{1}} |$ = $| \vec{{AP}_{2}} |$ C、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{3}}$ = $\vec{{OP}_{1}} \vec{\cdot {OP}_{2}}$ D、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{1}} = \vec{{OP}_{2}} \vec{\cdot {OP}_{3}}$

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15. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）

A、 $sin(x + \frac{π}{3} ）$ B、 $sin(\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $cos(2 x + \frac{π}{6} ）$ D、 $cos(\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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三、填空题

16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= $\frac{3}{5}$ ， $B H ∥ D G$ ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为cm² ．

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17. 将函数y= $3 \sin (2 x ﹢ \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.

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18. 若函数 $f (x) = \sin (x + φ) + \cos x$ 的最大值为2，则常数 $φ$ 的一个取值为．

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19. 已知 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{4})$ 的值是.

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20. 函数f（x）=sin²2x的最小正周期是.

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21. 函数f(x)=sin(2x+ $\frac{3 π}{2}$ )-3cosx的最小值为.

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四、解答题

22. 设函数f（x）=sinx，x $\in$ R。

(1)、已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值

(2)、求函数y=[f（x+ $\frac{π}{12}$ ） ]²+[f（x+ $\frac{π}{4}$ ）]²的值域

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23. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ .
（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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24. 在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- $\frac{1}{2}$ .
（I）求b，c的值：

（II）求sin（B+C）的值.

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25. 在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- $\frac{1}{2}$ .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.

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26. 已知函数f(x)=sinx+sin( $\frac{π}{3}$ -x)
(Ⅰ)求f(0)的值；

(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅲ)当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，求函数f(x)的最小值

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27. 已知函数f(x)=sin²xsin2x.

(1)、讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)、证明： $| f (x) | \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；

(3)、设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^{n}}{4^{n}}$ .

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