2019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（2）

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

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一、单选题

1. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数y=sin(x- $\frac{π}{4}$ )的图像，则f(x)=（）

A、sin( $\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12}$ ) B、sin( $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ ) C、sin( $2 x - \frac{7 π}{12}$ ) D、sin( $2 x + \frac{π}{12}$ )

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3. 下列区间中，函数f(x)=7sin( $x - \frac{π}{6}$ )单调递增的区间是（）

A、(0， $\frac{π}{2}$ ) B、( $\frac{π}{2}$ ， $π$ ) C、( $π$ ， $\frac{3 π}{2}$ ) D、( $\frac{3 π}{2}$ ， $2 π$ )

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4. 已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知2tanθ–tan(θ+ $\frac{π}{4}$ )=7，则tanθ=（）

A、–2 B、–1 C、1 D、2

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6. tan255°=（）

A、 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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7. 已知 $α, β, γ$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin α \cos β, \sin β \cos γ, \sin γ \cos α$ 三个值中，大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 函数f（x）=sin $\frac{x}{3}$ +cos $\frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（）

A、3 $π$ 和 $\sqrt{2}$ B、3 $π$ 和2 C、 $6 π$ 和 $\sqrt{2}$ D、 $6 π$ 和2

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9. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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10. 若tan $θ$ =-2,则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ}$ =（）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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11. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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12. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则tanB=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 若 $\sin x = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 x =$ ．

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14. 已知 $\sin^{2} (\frac{π}{4} + α)$ = $\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值是.

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15. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝；tan（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）＝．

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16. 已知函数 $f (x) ＝ 2 cos (ω x ＋ φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{π}{2})$ ＝．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ωx + φ)$ 的部分图像如图所示，则满足条件 $（ f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数x为。

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18. 关于函数f（x）= $\sin x + \frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

19. 设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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20. 在 $△ A B C$ ，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 2 ： 1 ： \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $\cos C$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值．

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21. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，证明：△ABC是直角三角形．

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22. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

(1)、若a= $\sqrt{3}$ c，b=2 $\sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若sinA+ $\sqrt{3}$ sinC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求C.

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23. 在① $a c = \sqrt{3}$ ，② $c sin A = 3$ ，③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin A = \sqrt{3} sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， ▲ ?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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24. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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25. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 3 ， c = \sqrt{2} ， B = 45 °$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、在边BC上取一点D，使得 $\cos ∠ A D C = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ D A C$ 的值．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $a + b = 11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

条件①： $c = 7 ， \cos A = - \frac{1}{7}$ ；

条件②： $\cos A = \frac{1}{8} ， \cos B = \frac{9}{16}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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27. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ $\sqrt{3}$ a．
（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

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