2019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（1）

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，且 $C = \frac{π}{5}$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{10}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{10}$ D、 $\frac{2 π}{5}$

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2. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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3. 为了得到函数 $y = 2 \sin 3 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ．“会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ．当 $O A = 2 ， ∠ A O B = 60 °$ 时， $s =$ （）

A、 $\frac{11 - 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{11 - 4 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. “ $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ”是“ $s i n α + c o s β = 0$ ”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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8. 已知函数 $f (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = 2$ ，一个周期为4，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $s i n (\frac{π}{2} x)$ B、 $c o s (\frac{π}{2} x)$ C、 $s i n (\frac{π}{4} x)$ D、 $c o s (\frac{π}{4} x)$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 单调递增，直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 为函数 $y = f (x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 设 $a > 0$ ，函数 $y = s i n x$ 在区间 $[a ， 2 a]$ 上的最小值为 $s_{a}$ ，在 $[2 a ， 3 a]$ 上的最小值为 $t_{a}$ ，当 $a$ 变化时，以下不可能的情形是（）.

A、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} > 0$ B、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} < 0$ C、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} < 0$ D、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} > 0$

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11. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
③当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ ；
④ $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α + β) = - 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α - β) = 1$

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13. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{5}{3} ， \frac{19}{6})$ C、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3}]$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{19}{6}]$

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14. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递增

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16. 记函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为T，若 $\frac{2 π}{3} < T < π ，$ 则 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 2)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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17. 函数 $y = f (x)$ 的图象由 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到，则 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

18. 已知 $t a n α = 3$ ，求 $t a n 2 α =$ ；

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19. 若点 $P (\cos θ, \sin θ)$ 与点 $Q (\cos (θ + \frac{π}{6}), \sin (θ + \frac{π}{6}))$ 关于 $y$ 轴对称，写出一个符合题意的 $θ =$ ．

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20. 已知命题 $p ：$ 若 $α ， β$ 为第一象限角，且 $α > β$ ，则 $t a n α > t a n β$ ．能说明p为假命题的一组 $α ， β$ 的值为 $α =$ ， $β =$ ．

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21. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2}) ， t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ ．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4 ， b = 5 ， c = 6$ ，求 $s i n A =$ ；

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23. 已知函数 $f （ x ） = s i n （ ω x + φ ）$ ，如图A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f （ x ）$ 的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{6}$ ，则 $f （π） =$ .

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24. 若 $3 \sin α - \sin β = \sqrt{10} ， α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α =$ ， $\cos 2 β =$ ．

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25. 记函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{π}{9}$ 为 $f (x)$ 的零点，则 $ω$ 的最小值为．

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26. 若函数 $f (x) = A \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A =$ ； $f (\frac{π}{12}) =$ ．

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三、解答题

27. 设函数 $f (x) = s i n ω x c o s φ + c o s ω x s i n φ (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $φ$ 的值．

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在，求 $ω ， φ$ 的值．
条件①： $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{2}$ ；

条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ ；

条件③： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}]$ 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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28. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{c o s A} = 2$ ．

(1)、求 $b c$ ；

(2)、若 $\frac{a c o s B - b c o s A}{a c o s B + b c o s A} - \frac{b}{c} = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积．

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29. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、求 $s i n ∠ A B C$ ；

(2)、若D为BC上一点，且 $∠ B A D = 90 °$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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30. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{6} ， b = 2 c ， c o s A = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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31. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、若 $A = 2 B$ ，求C；

(2)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

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32. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 5 ， \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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33. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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34. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边长分别为 $a ， b ， c ， b = a + 1 ， c = a + 2$ ．

(1)、若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、是否存在正整数a，使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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