2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用（3）

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、填空题

1. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为

查看试题解析
2. 曲线 $y = \ln x + x + 1$ 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.

查看试题解析
3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.

查看试题解析
4. 曲线 $y = \cos x - \frac{x}{2}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为.

查看试题解析

二、解答题

5. 已知函数f（x）=2lnx+1．

(1)、若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

(2)、设a>0时，讨论函数g（x）= $\frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ 的单调性．

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - x$ .

(1)、当a=1时，讨论f（x）的单调性；

(2)、当x≥0时，f（x）≥ $\frac{1}{2}$ x³+1，求a的取值范围.

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若f（x）≥1，求a的取值范围．

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + k \ln x (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．
（Ⅰ）当 $k = 6$ 时，

（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（ii）求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) + \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k ⩾ - 3$ 时，求证：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ．

查看试题解析
10. 已知关于x的函数 $y = f (x) ， y = g (x)$ 与 $h (x) = k x + b (k ， b \in R)$ 在区间D上恒有 $f (x) \geq h (x) \geq g (x)$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{2} + 2 x ， g (x) = - x^{2} + 2 x ， D = (- \infty ， + \infty)$ ，求h(x)的表达式；

(2)、若 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (x) = k \ln x ， h (x) = k x - k ， D = (0 ， + \infty)$ ，求k的取值范围；

(3)、若 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} ， g (x) = 4 x^{2} - 8 ， h (x) = 4 (t^{2} - t) x - 3 t^{4} + 2 t^{2} (0 < | t | \leq \sqrt{2}) ，$ $D = [m ， n] \subseteq [- \sqrt{2} ， \sqrt{2}] ，$ 求证： $n - m \leq \sqrt{7}$ ．

查看试题解析
11. 已知1＜a≤2，函数f（x）＝e^x﹣x﹣a，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在（0，+∞）上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数y＝f（x）在（0，+∞）上的零点，证明：

（ⅰ） $\sqrt{a - 1}$ ≤x₀≤ $\sqrt{2 (a - 1)}$ ；

（ⅱ）x₀f（ $e^{x_{0}}$ ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．

查看试题解析
12. 已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ $\sqrt{x + 1}$ .x>0

(1)、当a=- $\frac{3}{4}$ 时，求函数f（x）的单调区间

(2)、对任意x∈[ $\frac{1}{e^{2}}$ ，+∞）均有f（x）≤ $\frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，求a的取值范围

查看试题解析
13. 设函数 $f (x) = \ln x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

查看试题解析
14. 设函数 $f (x) = e^{x} \cos x, g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明 $f (x) + g (x) (\frac{π}{2} - x) ⩾ 0$ ；

（Ⅲ）设 $x_{n}$ 为函数 $u (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(2 m + \frac{π}{4}, 2 m π + \frac{π}{2})$ 内的零点，其中 $n \in N$ ，证明 $2 n π + \frac{π}{2} - x_{n} < \frac{e^{- 2 n π}}{\sin x_{0} - \cos x_{0}}$ .

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当0<a<3时，记 $f (x)$ 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求 $M - m$ 的取值范围.

查看试题解析
16. 已知函数f（x）=2x³-ax²+b.

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = (x - 1) l n x - x - 1$ ，证明：

(1)、 $f (x)$ 存在唯一的极值点；

(2)、 $f (x) = 0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ .

(1)、讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

(2)、设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀ ， ln x₀)处的切线也是曲线 $y = e^{x}$ 的切线.

查看试题解析
19. 已知函数f（x）= $\frac{1}{4}$ x³-x²+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.

查看试题解析
20. 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。

(1)、证明：f'(x)在区间(0， π)存在唯一零点；

(2)、若xϵ[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。

查看试题解析
21. 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：

(1)、f’(x)在区间(-1， $\frac{π}{2}$ )存在唯一极大值点；

(2)、f(x)有且仅有2个零点。

查看试题解析