2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用（1）

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 曲线 $y = \frac{e^{x}}{x + 1}$ 在点 $(1 ， \frac{e}{2})$ 处的切线方程为（）

A、 $y = \frac{e}{4} x$ B、 $y = \frac{e}{2} x$ C、 $y = \frac{e}{4} x + \frac{e}{4}$ D、 $y = \frac{e}{2} x + \frac{3 e}{4}$

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2. 已知函数f(x)= $a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1 ， 2)$ 单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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3. 函数 $f (x) = \cos x + (x + 1) \sin x + 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 的最小值、最大值分别为（）

A、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ B、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$ D、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$

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4. 已知 $a = \frac{31}{32} ， b = \cos \frac{1}{4} ， c = 4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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5. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} {(a_{n} - 6)}^{3} + 6 (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时， ${a_{n}}$ 为递减数列，且存在常数 $M ≤ 0$ ，使得 $a_{n} > M$ 恒成立 B、当 $a_{1} = 5$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且存在常数 $M \leq 6$ ，使得 $a_{n} < M$ 恒成立 C、当 $a_{1} = 7$ 时， ${a_{n}}$ 为递减数列，且存在常数 $M > 6$ ，使得 $a_{n} > M$ 恒成立 D、当 $a_{1} = 9$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且存在常数 $M > 0$ ，使得 $a_{n} < M$ 恒成立

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7. 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 $π$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3} ，$ 则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A、 $[18 ， \frac{81}{4}]$ B、 $[\frac{27}{4} ， \frac{81}{4}]$ C、 $[\frac{27}{4} ， \frac{64}{3}]$ D、[18，27]

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二、多项选择题

8. 若f(x)=alnx+ $\frac{b}{x}$ + $\frac{c}{x^{2}}$ (a≠0)既有极大值也有极小值，则（）

A、bc>0 B、ab>0 C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、ac<0

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9. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象以 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 中心对称，则（）

A、 $y =$ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $y =$ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{11 π}{12})$ 有2个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一条对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是一条切线

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1 ，$ 则（）

A、f(x)有两个极值点 B、f(x)有三个零点 C、点(0，1)是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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三、填空题

11. 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为 $θ$ ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为 $(1.025 - c o s θ)$ ，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 $θ =$ ；

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12. 写出曲线 $y = \ln | x |$ 过坐标原点的切线方程：，．

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13. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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14. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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四、解答题

15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x ， g (x) = x^{2} + a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线．

(1)、若 $x_{1} = - 1$ ，求a：

(2)、求a的取值范围．

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16. 设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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17. 已知 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{3} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、若 $a = 8$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < s i n 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{2} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) + s i n x < 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) l n (x + 1)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处切线的斜率；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) > 1$ ；

(3)、证明： $\frac{5}{6} < l n (n!) - (n + \frac{1}{2}) l n (n) + n \leq 1$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) l n (1 + x)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、是否存在a，b，使得曲线 $y = f (\frac{1}{x})$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.

(3)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 存在极值，求a的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) l n (1 + x)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (x))$ 处的切线方程.

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = l n x$ ，取点 $(a_{1} f (a_{1}))$ 过其曲线 $y = f (x)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0 ， a_{2})$ ，取点 $(a_{2} f (a_{2}))$ 过其曲线 $y = f (x)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0 ， a_{3})$ ，若 $a_{3} > 0$ 则继续，若 $a_{3} \leq 0$ 则停止，以此类推得到数列 ${a_{n}}$ .

(1)、若正整数 $m \geq 2$ ，证明 $a_{m} = l n a_{m - 1} - 1$ ；

(2)、若正整数 $m \geq 2$ ，试比较 $a_{m}$ 与 $a_{m - 1} - 2$ 大小；

(3)、若正整数 $k \geq 3$ ，是否存在 $k$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ⋯ a_{k}$ 依次成等差数列?若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，请说明理由.

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23.

(1)、证明：当 $0 < x < 1$ 时， $x - x^{2} < s i n x < x$

(2)、已知函数 $f (x) = c o s a x - l n (1 - x^{2}) ，$ 若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a的取值范围.

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24. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x ， g (x) = b \sqrt{x}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 有公共点，
（i）当 $a = 0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > e$ ．

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25. 设函数 $f (x) = \frac{e}{2 x} + \ln x (x > 0)$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知 $a ， b \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 上不同的三点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2})) ， (x_{3} ， f (x_{3}))$ 处的切线都经过点 $(a ， b)$ ．证明：

（ⅰ）若 $a > e$ ，则 $0 < b - f (a) < \frac{1}{2} (\frac{a}{e} - 1)$ ；

（ⅱ）若 $0 < a < e ， x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{2}{e} + \frac{e - a}{6 e^{2}} < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{3}} < \frac{2}{a} - \frac{e - a}{6 e^{2}}$ ．

（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）

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26. 已知函数 $f (x) = x e^{a x} - e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) < - 1$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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27. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - \ln x + x - a$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围；

(2)、证明：若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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29. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + a x e^{- x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0) ， (0 ， + \infty)$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = e^{x} ln (1 + x)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $s ， t \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (s + t) > f (s) + f (t)$ ．

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