云南省昆明市昆八中2023-2024学年高二上学期数学特色部开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-01 类型：开学考试

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一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $A (s i n 15 0^{°} ， c o s 3 0^{°})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 下列各组函数是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = (x + 1)^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{- x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- x}$ C、 $f (x) = \frac{x}{x} 与 g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$

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3. 下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（）

A、 $f (x) = 3 x - 1$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = l n x$

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4. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）

A、棱柱 B、棱台 C、棱柱与棱锥的组合体 D、不能确定

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5. 某工厂近期唕生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分： ①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位 $(x + \frac{600}{x} - 30)$ 元(试剂的总产量为 $x$ 单位， $50 \leq x \leq 200$ )，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）

A、60单位 B、70单位 C、80单位 D、90单位

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6. 某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：① $a = 0.03$ ；②若抽取100人，则平均用时13.75小时：③若从每周使用时间在 $[15 ， 20) ， [20 ， 25)$ ， $[25 ， 30)$ 三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在 $[20 ， 25)$ 内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则（）

A、 $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = 0$ B、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ C、 $P (A) = 1 - P (B)$ D、 $P (\bar{A} \cup \bar{B}) = 1$

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8. 21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为 $4 m$ 和 $5 m$ ，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（）

A、 $36 - 21 \sqrt{2} m$ B、 $40 - 21 \sqrt{2} m$ C、 $40 - 24 \sqrt{2} m$ D、 $36 - 24 \sqrt{2} m$

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二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.)

9. 下列运算中正确的是（）

A、 $\frac{l o g_{3} 7}{l o g_{3} 4} = l o g_{7} 4$ B、 ${(\frac{1}{10})}^{- l g 2} + l n (l n e) = 2$ C、当 $a > 0$ 时， $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{11}{6}}$ D、若 $a + a^{- 1} = 14$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{3}$

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10. 将函数 $f (x) = 2 s i n x$ 的图象向右来移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，得到 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ B、 $g (x)$ 在 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{10 π}{3}]$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $g (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的最小值为-2

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - k x + 10 ， x \leq 1 \\ \frac{k - 1}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $k$ 的可能的取值有（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12. 已知 $△ A B C ， \vec{B E} = \vec{E C} ， \vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = λ \vec{A E}$ 且 $\vec{B M} = μ \vec{B F} (λ ， μ \in R)$ ，则（）

A、 $λ = \frac{1}{2}$ B、 $μ = \frac{2}{3}$ C、 $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{4} \vec{C B}$ D、 $\vec{M A} + \vec{M B} = \frac{1}{4} \vec{C A} + \frac{1}{4} \vec{C B}$

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三、填空题(本大题共4小题,每小题5分。)

13. 若指数函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 4)$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ；不等式 $f (2 x - 1) \leq {(\frac{1}{2})}^{1 - 3 x}$ 的解集是.

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14. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 $30 % ， 20 %$ ， $50 %$ ，且三家工厂的次品率分别为 $3 % ， 3 % ， 1 %$ ，则市场上该品牌产品的次品率为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{3 (b - c c o s A)}{s i n C} = \sqrt{3} a$ .若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为；若 $2 s i n A - s i n B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s A =$ .

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $O$ 为底面正方形ABCD的中心，点 $P$ 在侧面正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 的边界及其内部运动，若 $D_{1} O ⊥ O P$ ，则点 $P$ 的轨迹的长度为.

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四、解答题(本大题共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)

17. 在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (2 ， - 1)$ ，求下列各式的值：

(1)、 $s i n^{2} α + 3 s i n α c o s α$ ；

(2)、 $\frac{s i n (α + \frac{3 π}{2}) c o s (- α) t a n (π - α)}{s i n (π - α) c o s (\frac{π}{2} + α)}$ .

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18. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350(单位： $k W \cdot h$ )之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示：

(1)、求在被调查的用户中，用电量落在区间 $[150 ， 200)$ 的户数；

(2)、求直方图中 $x$ 的值；

(3)、求这组数据的平均数.

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是BC上一点.

(1)、若点D是BC的中点.求证 $A_{1} C ∥ 平面 A B_{1} D$ ；

(2)、若平面 $A B_{1} D$ ⊥平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，求证 $A D ⊥ B C$ .

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20. 在① $A = \frac{π}{3} ， a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{2}$ ；② $a = 1 ， b = \sqrt{3} ， A = \frac{π}{6} ；$ ③ $a = \sqrt{2} ， b = \frac{\sqrt{6}}{2} ， B = \frac{π}{3}$ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，解三角形.

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21. 设 $m$ 为实数，已知函数 $f (x) = 1 - \frac{m}{2^{x} - 1}$ 是奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减：

(3)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围.

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22. A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为2：1，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：

运行区间		公布票价		学生票
上车站	下车站	一等座	二等座	二等座
A	B	81(元)	68(元)	51(元)

(1)、参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?

(2)、由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数)，其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程)y与x之间的函数关系式.

(3)、请你做一个预算，按第⑵小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱﹖最多要花多少钱?

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