黑龙江省牡丹江市重点高级中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-01 类型：开学考试

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一、单项选择题(共8小题,每小题5分,每题只有一个正确选项,共40分)

1. 设集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 2} ， B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2}) ， x > s i n x$ 的否定是（）

A、 $\exists x \notin (0 ， \frac{π}{2}) ， x \leq s i n x$ B、 $\exists x \in (0 ， \frac{π}{2}) ， x \leq s i n x$ C、 $\forall x \notin (0 ， \frac{π}{2}) ， x > s i n x$ D、 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2}) ， x \leq s i n x$

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3. 下列所给图象是函数图象的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式：① $a + b < a b$ ；② $| a | > | b |$ ；③ $a < b$ ；④ $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ 中，正确的不等式是（）

A、①④ B、②③ C、①② D、③④

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5. 若函数 $f (x)$ 同时满足：(1)对于定义域内的任意 $x$ ，有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；(2)对于定义域内的任意 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.给出下列四个函数：① $f (x) = x^{2}$ ；② $f (x) = - x^{3}$ ；③ $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ；④ $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$ .
其中是“理想函数”的序号是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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6. 某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为 $[17.5 ， 20) 、 [20 ， 22.5)$ 、 $[22.5 ， 25) 、 [25 ， 27.5) 、 [27.5 ， 30]$ .根据直方图，以下结论不正确的是（）

A、估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85 B、估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75 C、估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300 D、估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300

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7. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ 和 $(3 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ ，则该函数在 $(1 ， 3]$ 上的值域是（）

A、 $[4 ， 5)$ B、 $(4 ， 5)$ C、 $[\frac{13}{3} ， 5)$ D、 $[\frac{13}{3} ， 5]$

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二、多选题（共4小题,每小题5分,每题有多个正确选项,选不全得2分,选错得0分,完全正确得5分,共20分)

9. 下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、“ $x = 2$ "是“ $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ”的充要条件 C、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要而不充分条件 D、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ “是“ $a b \neq 0$ “的必要不充分条件

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10. 下列命题中，正确的命题是（）

A、数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 $70 %$ 分位数是7 B、若随机变量 $X ~ B (6 ， \frac{1}{3})$ ，则 $D (X) = \frac{4}{9}$ C、若事件A，B满足 $P (A \bar{B}) = P (A) \cdot [1 - P (B)]$ ，则A与B独立 D、若随机变量 $X ~ N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.68$ ，则 $P (2 \leq X < 3) = 0.18$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ ，则下列正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ B、 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ ， $f (- x) = f (x)$ C、函数 $g (x) = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 5 ， 3]$ D、若 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ ，则其定义域必为 $[- 2 ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， 2]$

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12. 3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（）

A、共有 $3^{6}$ 种不同的报名方法 B、若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能 C、若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法 D、若每个活动小组最少安排一名同学，且甲、乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法

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三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13. 不等式 $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 2$ 的解集是.

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14. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{x} - 2 ， x > 4 \\ | x - 3 | + a ， x \leq 4 \end{matrix}$ ，若 $f (f (9)) = 1$ ，则 $a =$ ．

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15. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中第4项的系数为.

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16. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对任意的 $x \in R$ 恒有 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，已知当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{1 - x}$ ，则
①2是函数 $f (x)$ 的一个周期；

②函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上是减函数，在 $(2 ， 3)$ 上是增函数；

③函数 $f (x)$ 的最大值是1，最小值是0；

④ $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称轴；

⑤当 $x \in (3 ， 4)$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 3}$ .

其中所有正确命题的序号是.

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四、解答题(共6题,共70分)

17. 已知 $U = R$ ，且 $A = {x ∣ - 4 < x < 4} ， B = {x ∣ x \leq 1$ 或 $x \geq 3}$ ，求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $(C_{U} A) \cap B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + a$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1 ， 2)$ ，求a，b的值；

(2)、b=1时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ .

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19. 求下列最值：

(1)、当 $x < \frac{3}{2}$ 时，求函数 $y = x + \frac{8}{2 x - 3}$ 的最大值；

(2)、设 $0 < x < 2$ ，求函数 $y = \sqrt{x (4 - 2 x)}$ 的最大值.

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20. 为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有 20 名对讲座活动不满意．

(1)、完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	合计
男生
女生
合计			100

(2)、从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率.

附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

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21. 近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表：

年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
交易额 $y$ /亿元	7	16	20	27	30

(1)、根据上表数据，计算y与

x

的线性相关系数

r

，并说明

y

与

x

的线性相关性强弱.(已知：

0.75 \leq | r | \leq 1

，则认为

y

与

x

线性相关性很强；

0.3 \leq | r | < 0.75

，则认为

y

与

x

线性相关性般；

| r | \leq 0.25

，则认为

y

与

x

线性相关性较弱.)

(2)、求出

y

关于

x

的线性回归方程，并预测2023年该网站“双11"当天的交易额.

参考数据： $\sqrt{3340} \approx 57.8$ ，参考公式： $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 357 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ，

$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 2334 ， r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n y^{2}}} ， \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}$

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22. 甲､乙两人进行猜灯谜游戏，每次同时猜同一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，且获胜一方得1分，失败一方得−1分；若两人都猜对或两人都猜错，则为平局，两人均得0分.已知猜灯谜游戏中，甲､乙每次猜对的概率分别为 $\frac{3}{4} ， \frac{2}{3}$ ，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜游戏也互不影响.

(1)、求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望；

(2)、设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率.

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