浙江省宁波市镇海区蛟川书院2022-2023学年七年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-01 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（）

A、 $3 a + 2 a^{2} = 5 a^{3}$ B、 $(b - a)^{2} = b^{2} - a^{2}$ C、 $2 a^{3} \cdot 3 a^{2} = 6 a^{6}$ D、 $- 6 a^{2} \div 3 a = - 2 a$

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3. 下列各多项式中，能因式分解的是（）

A、 $a^{2} - 4 a + 4$ B、 $a^{2} - a b + b^{2}$ C、 $- a^{2} - 4$ D、 $a^{2} + 4 b^{2}$

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4. 为了解初一年级 $700$ 名学生的视力情况，从中抽测了 $50$ 名学生的视力情况，下面的说法中正确的（）

A、 $700$ 名学生是总体 B、样本容量是 $50$ C、 $50$ 名学生是所抽取的一个样本 D、每个学生是个体

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5. 已知 $a = (- 2023)^{0} ， b = (\frac{1}{2})^{- 1} ， c = \frac{π}{2}$ ，则这三个数按从小到大的顺序排列为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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6. 如图所示，在

3 \times 3

方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中

x

，

y

的值是（）

$4 x$	$- 1$	$0$
	$- y$	$5$
		$2 y$

A、

{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}

B、

{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}

C、

{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}

D、

{\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}

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7. 某班学生去距学校 $7 k m$ 的地方春游，一部分学生骑自行车先走，过了 $20 m i n$ 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达 $.$ 已知汽车的速度是骑车学生速度的 $5$ 倍，设骑车学生的速度为 $x k m / h$ ，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{7}{x} - \frac{7}{5 x} = 20$ B、 $\frac{7}{5 x} - \frac{7}{x} = 20$ C、 $\frac{7}{5 x} - \frac{7}{x} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{x} - \frac{7}{5 x} = \frac{1}{3}$

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8. 如图，已知 $△ O A B$ ≌ $△ O A_{1} B_{1}$ ， $A B$ 与 $A_{1} O$ 交于点 $C$ ， $A B$ 与 $A_{1} B_{1}$ 交于点 $D$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $∠ A = ∠ A_{1}$ B、 $A C = C O$ C、 $O B = O B_{1}$ D、 $∠ A_{1} D C = ∠ A O C$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 分别与 $A B$ 、 $B C$ 交于点 $D$ 、 $E$ ， $A C$ 的垂直平分线 $F G$ 分别与 $A C$ 、 $B C$ 交于点 $F$ 、 $G$ ， $E G = \frac{1}{2} B E = \frac{2}{3} C G$ ，若 $△ C G F$ 的面积为 $3$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $9$ B、 $10$ C、 $13$ D、 $18$

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10. 蛟蛟和川川一起玩拼图游戏，蛟蛟将六块拼图拼成如图所示的矩形 $A B C D$ ，其中 $① ② ③ ④$ 为正方形，川川发现如果知道 $⑤ ⑥$ 两块拼图的周长差，就可以知道其中一块正方形的边长了，那么这个正方形为（）

A、 $①$ B、 $②$ C、 $③$ D、 $④$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则分式 $\frac{3 a + 2 b}{b} =$ ．

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12. 分解因式： $3 x^{2} - 12 =$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，如果 $∠ B = 52 °$ ， $∠ C = 68 °$ ，那么 $∠ A$ 的外角等于度 $.$

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14. “鹅要过河，河要渡鹅 $.$ 不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有 $19$ 个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为．

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15. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3 a + x}{2 x + 3} = 1$ 有增根，则 $a$ 的值为．

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16. 已知 $3^{x} = 4$ ， $9^{y} = 8$ ，则 $3^{3 x + 2 y}$ 的值为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 为 $A C$ 边上的中线， $F$ 为 $A B$ 上一点，连接 $C F$ ，交 $B D$ 于点 $E$ ，若 $A B = C E = 4$ ， $5 A F = 4 A B$ ，则 $E F =$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，分别延长 $C A$ ， $C B$ 至点 $D$ ， $E .$ 连接 $D E$ ， $D B$ ，在 $A C$ 取点 $F$ ，使得 $E F = B D$ ， $∠ D B A = ∠ F E C$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ C E$ ，垂足为点 $G .$ 若 $C G = \frac{2}{3}$ ，则 $B E =$ ．

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三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算或化简：

(1)、 $| 2 - 6 | + (2023 - π)^{0} - 27 \times 3^{- 3}$ ；

(2)、 $(x + 5)^{2} + (2 + x) (2 - x)$ ．

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20. 已知 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ，求下列代数式 $(x - 3 - \frac{7}{x + 3}) \div \frac{x - 4}{x^{2} + 3 x}$ 的值．

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21. 学校对七年级全体学生进行了一次体育达标测试，成绩评定分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级 $(A ， B ， C ， D$ 分别代表优秀、良好、合格、不合格 $)$ ，现从七年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩，绘制成了不完整的统计图 $.$ 请你根据统计图提供的信息解答下列问题；

(1)、本次调查中，一共抽取了名学生的成绩；

(2)、将上面的条形统计图补充完整，求扇形统计图中等级 $C$ 的圆心角度数；

(3)、如果该校七年级共有 $700$ 名学生，估计在这次测试中成绩达到优秀的人数．

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22. 临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买 $1$ 个甲套餐比购买 $1$ 个乙套装少用 $40$ 元，用 $450$ 元购买甲套餐和用 $810$ 元购买乙套餐的个数相同．

(1)、求这两种套餐的单价分别为多少元；

(2)、班级计划用 $1800$ 元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进 $1$ 种且刚好用完经费，请你设计进货方案．

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23. 定义：任意两个数 $a$ ， $b$ ，按规则 $c = (a + 1) (b + 1)$ 运算得到一个新数 $c$ ，称所得的新数 $c$ 为 $a$ ， $b$ 的“和积数”．

(1)、若 $a = 4$ ， $b = - 2$ ，求 $a$ ， $b$ 的“和积数” $c$ ；

(2)、若 $a b = \frac{1}{2}$ ， $a^{2} + b^{2} = 8$ ，求 $a$ ， $b$ 的“和积数” $c$ ；

(3)、已知 $a = x + 1$ ，且 $a$ ， $b$ 的“和积数” $c = x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ ，求 $b ($ 用含 $x$ 的式子表示 $)$ 并计算 $a + b$ 的最小值．

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24. 如图

(1)、【基础巩固】图 $1$ ，三角形 $△ A B C$ 中 $∠ A B C$ 的角 $B D ∠ A C B$ 的外角平 $C D$ 交点 $D$ ，证明： $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；

(2)、【尝试应用】如图 $2$ ，在等边三角形 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 的点，且满足 $A D = C E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ，交于点 $M$ 作 $∠ A D C$ ， $∠ A B E$ 的角平分线，交于点 $N$ ．
$①$ 证明 $△ A C D$ ≌ $△ C B E$ ；
$②$ 求 $∠ D N B$ 的度数；

(3)、【拓展提高】在（2）的条件下，连接 $M N$ ，如图 $3$ ，当 $∠ D C B = 40 °$ ，求 $∠ M N D$ 的度数．

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