【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第22题

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、原题

1. 在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0， $\frac{1}{2}$ )的距离，记动点P的轨迹为W.

(1)、求W的方程；

(2)、已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于 $3 \sqrt{3}$ .

查看试题解析

二、基础

2. 平面直角坐标系中，点 $P$ 在 $y$ 轴右侧，且到点 $F (1 ， 0)$ 的距离比其到 $y$ 轴距离多1.

(1)、求点 $P$ 轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点， $Q$ 是 $y$ 轴上一点.若 $△ A B Q$ 是正三角形，求直线 $l$ 的斜率.

查看试题解析
3. 已知M，N是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点和右顶点，且直线 $M N$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆E的离心率；

(2)、设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且 $\overset{⇀}{A B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ ，求直线 $A B$ 的斜率．

查看试题解析
4. 动点 $M (x ， y)$ 与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和它到定直线 $l ： x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\sqrt{3}$ ，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知过点 $P (- 1 ， 1)$ 的直线与曲线C相交于两点 $A$ ， $B$ ，请问点P能否为线段 $A B$ 的中点，并说明理由.

查看试题解析
5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，且过点 $P (- 2 ， - 3)$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知直线 $y = x + m$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段 $A B$ 的中点为 $M (x_{0} ， y_{0})$ ，当 $x_{0} \neq 0$ 时，求 $\frac{y_{0} + 2 m}{3 x_{0} - m}$ 的值．

查看试题解析
6. 已知定点 $F (1 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y) (x \geq 0)$ 到点F的距离比它到y轴的距离大1．

(1)、求动点P的轨迹方程；

(2)、过 $Q (1 ， 2)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求证：直线MN的斜率为定值．

查看试题解析
7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，准线方程为 $x = - 1$ .

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、若定点 $P (2 ， 1)$ ，直线l与地物线C交于A，B两点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{7} \vec{P B}$ ，求直线l的斜率.

查看试题解析
8. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点T（3，t）到焦点F的距离为4.

(1)、求p的值；

(2)、设A，B是抛物线C上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中O为坐标原点.求证：直线AB过定点.

查看试题解析
9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为 $k_{1}$ ，直线NB斜率为 $k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

查看试题解析

三、提高

10. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $(\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (2 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ 的最大值.

查看试题解析
11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且 $C$ 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A$ 为 $C$ 的左顶点，若过点 $(3 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P ， Q$ 两点，且直线 $A P ， A Q$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 分别交于 $M ， N$ 两点，记四边形 $P Q N M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

查看试题解析
12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A (2 ， 3)$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 是椭圆上位于 $A B$ 两侧的动点，当 $M$ ， $N$ 运动时，始终保持 $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，求证：直线 $M N$ 的斜率为定值．

查看试题解析
13. 椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点， $P$ 为椭圆上的动点.

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积；

(3)、线 $P Q$ 、 $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，是否存在位于第一象限的点 $P$ ，使得 $k_{1} k_{2} = 1$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (- 1 ， 0) 、 B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足： $k_{1} \cdot k_{2} = m$ ，其中 $m$ 是非零常数， $k_{1} 、 k_{2}$ 分别为直线 $P A 、 P B$ 的斜率.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Γ$ 的方程，并讨论 $Γ$ 的形状与 $m$ 值的关系；

(2)、当 $m = - 4$ 时，直线 $y = k x + b$ 交曲线 $Γ$ 于 $C 、 D$ 两点， $O$ 为坐标原点.若线段 $C D$ 的长度 $| C D | = 2$ ， $△ C O D$ 的面积 $S = 1$ ，求直线 $C D$ 的方程.

查看试题解析
15. 已知直线 $l ： m x + y - 2 m - 3 = 0$ 过定点 $A$ ，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $A$ ，且 $C$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标和 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l^{'} ： y = k x + 1 (k \neq 1)$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，试探究：直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

查看试题解析
16. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = x$ 与圆 $M$ ： $(x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A ， B ， C ， D$ 四个点．

(1)、当 $r = 2$ 时，求四边形 $A B C D$ 面积；

(2)、当四边形 $A B C D$ 的面积最大时，求圆 $M$ 的半径 $r$ 的值．

查看试题解析
17. 直线 $l$ 经过点 $T (t ， 0)$ $(t > 0)$ 且与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点．

(1)、若 $A (1 ， 2)$ ，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与坐标轴不垂直， $M (m ， 0)$ ，证明： $∠ T M A = ∠ T M B$ 的充要条件是 $m + t = 0$ ．

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为2，圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 经过椭圆 $C$ 短轴顶点和两个焦点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 作斜率为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，点 $G$ 、 $H$ 满足： $\vec{O M} + \vec{O N} + \vec{O G} = \vec{O G} + \vec{O H} = \vec{0}$ .试问，是否存在点 $P$ ，使得 $M$ 、 $N$ 、 $G$ 、 $H$ 四点到点 $P$ 的距离均相等？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且经过点 $M (2 ， 0)$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2)、已知过点 $G (x_{1} ， y_{1})$ 的直线 $l_{1} ： x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $H (x_{2} ， y_{2}) (x_{2} \neq x_{1})$ 的直线 $l_{2} ： x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点N在双曲线C上，直线 $G H$ 与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明 $4 {| O N |}^{2} - {| O P |}^{2} - {| O Q |}^{2}$ 为定值，并求出定值．

查看试题解析
20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ､ F_{2} (\sqrt{3} ， 0) ， | M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 在直线 $x = s (| s | > 2)$ 上， $A ､ B$ 为 $C$ 的左右顶点，直线 $P A$ 交 $C$ 于点 $E$ （异于 $A ， B$ ），直线 $P B$ 交 $C$ 于点 $F$ （异于 $A ， B$ ）， $E F$ 交 $A B$ 于 $G$ ，过 $G$ 作 $x$ 轴的垂线分别交 $P A$ ､ $P B$ 于 $R ､ T$ ，问是否存在常数 $λ$ ，使得 $| R G | = λ | T G |$ .

查看试题解析
21. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x - 4$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 - a^{2}} = 1 (1 < a < 2)$ 相交于两点 $A ， B ， F$ 是 $C_{2}$ 的右焦点，直线 $A F$ 分别交 $C_{1} ， C_{2}$ 于 $C ， D$ （不同于 $A ， B$ 点），直线 $B C ， B D$ 分别交 $x$ 轴于 $P ， Q$ 两点.

(1)、设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， C (x_{2} ， y_{2})$ ，求证： $y_{1} y_{2}$ 是定值；

(2)、求 $\frac{| F Q |}{| F P |}$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ，直线AB，AC的斜率之积是3.

(1)、求点A的轨迹D的方程；

(2)、若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作 $B H ⊥ E F$ 于H，是否存在定点G使 $| H G |$ 为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析

四、巅峰

23. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F$ ，椭圆上的点到 $F$ 的最大距离为3，最小距离为1．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设椭圆左右顶点为 $A ， B$ ，在 $x = 4$ 上有一动点 $P$ ，连接 $P A ， P B$ 分别和椭圆交于 $C ， D$ 两点， $△ P A B$ 与 $△ P C D$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．是否存在点 $P$ ，使得 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{4}{3}$ ，若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，过右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 $M$ ， $N$ ．

(1)、写出椭圆右焦点 $F$ 的坐标及该椭圆的离心率；

(2)、证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

(3)、若弦AB，CD的斜率均存在，求 $△ F M N$ 面积的最大值．

查看试题解析
25. 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．
如图所示，抛物线 $Γ ： x^{2} = 2 p y$ ，其中 $p > 0$ 为一给定的实数.．

(1)、写出抛物线 $Γ$ 的焦点坐标及准线方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 2 p k + 2 p$ 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；

(3)、如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，
证明： $\frac{| A D |}{| D E |} = \frac{| E F |}{| F C |} = \frac{| D B |}{| B F |}$ ．

查看试题解析
26. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，直线 $l$ 过 $C$ 的右焦点 $F$ 且与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点．

(1)、若 $M ， N$ 两点均在双曲线 $C$ 的右支上，求证： $\frac{1}{| M F |} + \frac{1}{| N F |}$ 为定值；

(2)、试判断以 $M N$ 为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

查看试题解析
27. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ .圆 $I$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，且 $C I$ 延长线交 $A B$ 于点 $D$ ，若 $\vec{C I} = 2 \vec{I D}$ .

(1)、求点 $C$ 的轨迹 $Ω$ 的方程；

(2)、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程是 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，
①过直线 $l ： x = 4$ 上一点 $M$ 引 $Ω$ 的两条切线，切点分别是 $P ､ Q$ ，求证：直线 $P Q$ 恒过定点 $N$ ；

②是否存在实数 $λ$ ，使得 $| P N | + | Q N | = λ | P N | \cdot | Q N |$ ，若存在，求出 $λ$ 的值，若不存在，说明理由.

查看试题解析
28. 坐标平面 $x O y$ 中， $P (3 ， 1)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点，经过 $O$ 的直线（不过 $P$ 点）与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率乘积为 $- \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $M ， N$ ，且 $P M ⊥ P N$ .当点 $P$ 到直线 $l$ 的距离最大时，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
29. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $G$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $A_{2} G$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{8}{3}$ 相切，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（ $A ， B$ 不在 $x$ 轴上）且 $\vec{O Q} \cdot \vec{A B} = 0 ，$ (O为坐标原点)，求 $\frac{2 \sqrt{2} | A B |}{{| O Q |}^{2}}$ 的取值范围．

查看试题解析
30. 已知椭圆 $T ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $Q (\sqrt{3} ， - \frac{1}{2})$ 和点 $A (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ ， $T$ 的上顶点到直线 $\sqrt{3} x + y + 3 = 0$ 的距离为2，如图过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ ， $y$ 轴的交点分别为 $M$ ， $N$ ，且 $\vec{A N} = 2 \vec{M A}$ ，点 $A$ ， $C$ 关于原点对称，点 $B$ ， $D$ 关于原点对称，且 $\vec{B D} = λ \vec{N M}$ .

(1)、求 $| M N |$ 的长度；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

查看试题解析